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beweisen tan(x)sin(2x)=2sin^2(x)

Lösung

beweisen

tan (x) sin (2 x) = 2 sin^{2} (x)

Wahr

Schritte zur Lösung

tan (x) sin (2 x) = 2 sin^{2} (x)

Manipuliere die linke Seite

tan (x) sin (2 x)

Drücke mit sin, cos aus

sin (2 x) tan (x)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

sin (2 x) \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( x ) sin ( 2 x )}{cos ( x )}

= \frac{sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( 2 x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )} : 2 sin^{2} (x)

\frac{2 sin ( x ) cos ( x ) sin ( x )}{cos ( x )}

2 sin (x) cos (x) sin (x) = 2 sin^{2} (x) cos (x)

2 sin (x) cos (x) sin (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (x) sin (x) = sin^{1 + 1} (x)

= 2 cos (x) sin^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 2 cos (x) sin^{2} (x)

= \frac{2 sin ^{2} ( x ) cos ( x )}{cos ( x )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

cos (x)

= 2 sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (x)

= 2 sin^{2} (x)

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e cot (x) tan (x) - (sin^{2} (x) + cos^{2} (x)) = 0

p ro v e cos (x) sec (x) = tan (x) cot (x)

p ro v e \frac{csc ( x )}{1 + cot ^{2} ( x )} = sin (x)

p ro v e csc (\frac{π}{2} - x) cot (x) = csc (x)

p ro v e sec (\frac{3 π}{2} - x) = - csc (x)