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provar cos(a)(sec(a)-cos(a))=sin^2(a)

Solução

provar

cos (a) (sec (a) - cos (a)) = sin^{2} (a)

Verdadeiro

Passos da solução

cos (a) (sec (a) - cos (a)) = sin^{2} (a)

Manipular o lado direito

cos (a) (sec (a) - cos (a))

Expresar com seno, cosseno

(- cos (a) + sec (a)) cos (a)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sec (x) = \frac{1}{cos ( x )}

= (- cos (a) + \frac{1}{cos ( a )}) cos (a)

Simplificar

(- cos (a) + \frac{1}{cos ( a )}) cos (a) : - cos^{2} (a) + 1

(- cos (a) + \frac{1}{cos ( a )}) cos (a)

Simplificar

- cos (a) + \frac{1}{cos ( a )}

em uma fração:

\frac{- cos ^{2} ( a ) + 1}{cos ( a )}

- cos (a) + \frac{1}{cos ( a )}

Converter para fração:

cos (a) = \frac{cos ( a ) cos ( a )}{cos ( a )}

= - \frac{cos ( a ) cos ( a )}{cos ( a )} + \frac{1}{cos ( a )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( a ) cos ( a ) + 1}{cos ( a )}

- cos (a) cos (a) + 1 = - cos^{2} (a) + 1

- cos (a) cos (a) + 1

cos (a) cos (a) = cos^{2} (a)

cos (a) cos (a)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (a) cos (a) = cos^{1 + 1} (a)

= cos^{1 + 1} (a)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (a)

= - cos^{2} (a) + 1

= \frac{- cos ^{2} ( a ) + 1}{cos ( a )}

= \frac{- cos ^{2} ( a ) + 1}{cos ( a )} cos (a)

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{( - cos ^{2} ( a ) + 1 ) cos ( a )}{cos ( a )}

Eliminar o fator comum:

cos (a)

= - - cos^{2} (a) + 1

= - cos^{2} (a) + 1

= 1 - cos^{2} (a)

Reeecreva usando identidades trigonométricas

1 - cos^{2} (a)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - cos^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (a)

= sin^{2} (a)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

p ro v e tan (x) cos (x) csc (x) = 1

p ro v e \frac{csc ^{4} ( x ) - 1}{1 + csc ^{2} ( x )} = cot^{2} (x)

p ro v e 1 + sin (2 θ) = (cos (θ) sin (θ))^{2}

p ro v e cos^{2} (x) = \frac{1}{2} (cos (2 x) + 1)

p ro v e (csc (x) - 1) (csc (x) + 1) = cot^{2} (x)