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beweisen (sin(t))/(1-cos(t))=csc(t)+cot(t)

Lösung

beweisen

\frac{sin ( t )}{1 - cos ( t )} = csc (t) + cot (t)

Wahr

Schritte zur Lösung

\frac{sin ( t )}{1 - cos ( t )} = csc (t) + cot (t)

Manipuliere die linke Seite

\frac{sin ( t )}{1 - cos ( t )}

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

\frac{sin ( t )}{1 - cos ( t )}

Multipliziere mit

\frac{1 + cos ( t )}{1 + cos ( t )}

= \frac{sin ( t )}{\frac{( 1 - c o s ( t ) ) ( 1 + c o s ( t ) )}{1 + c o s ( t )}}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

t^{2} - y^{2} = (t + y) (t - y)

(1 - cos (t)) (1 + cos (t)) = 1 - cos^{2} (t)

= \frac{sin ( t )}{\frac{1 - c o s ^{2} ( t )}{1 + c o s ( t )}}

Verwende die Pythagoreische Identität:

1 = cos^{2} (t) + sin^{2} (t)

1 - cos^{2} (t) = sin^{2} (t)

= \frac{sin ( t )}{\frac{s i n ^{2} ( t )}{1 + c o s ( t )}}

Vereinfache

\frac{sin ( t )}{\frac{s i n ^{2} ( t )}{1 + c o s ( t )}} : \frac{1 + cos ( t )}{sin ( t )}

\frac{sin ( t )}{\frac{s i n ^{2} ( t )}{1 + c o s ( t )}}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{\frac{b}{c}} = \frac{a \cdot c}{b}

= \frac{sin ( t ) ( 1 + cos ( t ) )}{sin ^{2} ( t )}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

sin (t)

= \frac{1 + cos ( t )}{sin ( t )}

= \frac{1 + cos ( t )}{sin ( t )}

= \frac{1 + cos ( t )}{sin ( t )}

Manipuliere die rechte Seite

csc (t) + cot (t)

Drücke mit sin, cos aus

cot (t) + csc (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )} + csc (t)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{1}{sin ( t )}

Vereinfache

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{1}{sin ( t )} : \frac{cos ( t ) + 1}{sin ( t )}

\frac{cos ( t )}{sin ( t )} + \frac{1}{sin ( t )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( t ) + 1}{sin ( t )}

= \frac{cos ( t ) + 1}{sin ( t )}

= \frac{1 + cos ( t )}{sin ( t )}

Wir haben gezeigt, dass beide Seiten die gleiche Form annehmen können

\Rightarrow Wahr

p ro v e sin (- x) + cot (- x) cos (- x) = - csc (x)

p ro v e coth^{2} (x) - csch^{2} (x) = 1

p ro v e csc (θ) (1 - cos^{2} (θ)) = sin (θ)

p ro v e \frac{( csc ^{2} ( x ) )}{cot ( x )} = csc (x) sec (x)

p ro v e csc^{2} (x) (tan^{2} (x)) - 1 = tan^{2} (x)