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受欢迎的三角函数 >

证明 csc^4(θ)-cot^4(θ)=2cot^2(θ)+1

解答

证明

csc^{4} (θ) - cot^{4} (θ) = 2 cot^{2} (θ) + 1

解答

真

求解步骤

csc^{4} (θ) - cot^{4} (θ) = 2 cot^{2} (θ) + 1

调整左侧

csc^{4} (θ) - cot^{4} (θ)

分解

- cot^{4} (θ) + csc^{4} (θ) : (csc^{2} (θ) + cot^{2} (θ)) (csc (θ) + cot (θ)) (csc (θ) - cot (θ))

- cot^{4} (θ) + csc^{4} (θ)

将

csc^{4} (θ) - cot^{4} (θ)

改写为

(csc^{2} (θ))^{2} - (cot^{2} (θ))^{2}

csc^{4} (θ) - cot^{4} (θ)

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cot^{4} (θ) = (cot^{2} (θ))^{2}

= csc^{4} (θ) - (cot^{2} (θ))^{2}

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

csc^{4} (θ) = (csc^{2} (θ))^{2}

= (csc^{2} (θ))^{2} - (cot^{2} (θ))^{2}

= (csc^{2} (θ))^{2} - (cot^{2} (θ))^{2}

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(csc^{2} (θ))^{2} - (cot^{2} (θ))^{2} = (csc^{2} (θ) + cot^{2} (θ)) (csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ))

= (csc^{2} (θ) + cot^{2} (θ)) (csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ))

分解

csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) : (csc (θ) + cot (θ)) (csc (θ) - cot (θ))

csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

使用平方差公式:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = (csc (θ) + cot (θ)) (csc (θ) - cot (θ))

= (csc (θ) + cot (θ)) (csc (θ) - cot (θ))

= (csc^{2} (θ) + cot^{2} (θ)) (csc (θ) + cot (θ)) (csc (θ) - cot (θ))

= (- cot (θ) + csc (θ)) (cot (θ) + csc (θ)) (cot^{2} (θ) + csc^{2} (θ))

使用三角恒等式改写

(- cot (θ) + csc (θ)) (cot (θ) + csc (θ)) (cot^{2} (θ) + csc^{2} (θ))

乘开

(csc (θ) + cot (θ)) (csc (θ) - cot (θ)) : csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

(csc (θ) + cot (θ)) (csc (θ) - cot (θ))

使用平方差公式:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = csc (θ), b = cot (θ)

= csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)

= (csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ)) (cot^{2} (θ) + csc^{2} (θ))

使用毕达哥拉斯恒等式:

csc^{2} (θ) = 1 + cot^{2} (θ)

csc^{2} (θ) - cot^{2} (θ) = 1

= 1 \cdot (cot^{2} (θ) + csc^{2} (θ))

化简

= cot^{2} (θ) + csc^{2} (θ)

使用毕达哥拉斯恒等式:

csc^{2} (x) = 1 + cot^{2} (x)

= cot^{2} (θ) + 1 + cot^{2} (θ)

化简

cot^{2} (θ) + 1 + cot^{2} (θ) : 2 cot^{2} (θ) + 1

cot^{2} (θ) + 1 + cot^{2} (θ)

对同类项分组

= cot^{2} (θ) + cot^{2} (θ) + 1

同类项相加:

cot^{2} (θ) + cot^{2} (θ) = 2 cot^{2} (θ)

= 2 cot^{2} (θ) + 1

= 2 cot^{2} (θ) + 1

= 2 cot^{2} (θ) + 1

我们已展示，在两侧可以有相同的形式

\Rightarrow 真

流行的例子

证明 sec(b)cot(b)=csc(b)

p ro v e sec (b) cot (b) = csc (b)

证明 (1-cos(2θ))/(sin(2θ))=tan(θ)

p ro v e \frac{1 - cos ( 2 θ )}{sin ( 2 θ )} = tan (θ)

证明 (cos(3x))/(sin(x))+(sin(3x))/(cos(x))=2cot(2x)

p ro v e \frac{cos ( 3 x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( 3 x )}{cos ( x )} = 2 cot (2 x)

证明 sin(A+B)=sin(A)+sin(B)

p ro v e sin (A + B) = sin (A) + sin (B)

证明 (cot^2(B)-cos^2(B))/(csc^2(B)-1)=cos^2(B)

p ro v e \frac{cot ^{2} ( B ) - cos ^{2} ( B )}{csc ^{2} ( B ) - 1} = cos^{2} (B)