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Popolare Trigonometria >

dimostrare (cos^4(x)-sin^4(x))/(cos^2(x))=1-tan^2(x)

Soluzione

dimostrare

\frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 1 - tan^{2} (x)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

\frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x )} = 1 - tan^{2} (x)

Manipolando il lato sinistro

\frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Manipolando il lato destro

1 - tan^{2} (x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

1 - tan^{2} (x)

Usa l'identità pitagorica:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

Esprimere con sen e cos

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - tan^{2} (x)

Usare l'identità trigonometrica di base:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Semplifica

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2} : \frac{cos ^{4} ( x ) + sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - (\frac{sin ( x )}{cos ( x )})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(\frac{a}{b})^{c} = \frac{a ^{c}}{b ^{c}}

= cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Converti l'elemento in frazione:

cos^{2} (x) = \frac{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}, sin^{2} (x) = \frac{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )} - \frac{sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x ) + sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

cos^{2} (x) cos^{2} (x) + sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos^{4} (x) + sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos^{2} (x) cos^{2} (x) + sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

cos^{2} (x) cos^{2} (x) = cos^{4} (x)

cos^{2} (x) cos^{2} (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos^{2} (x) cos^{2} (x) = cos^{2 + 2} (x)

= cos^{2 + 2} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= cos^{4} (x)

= cos^{4} (x) + sin^{2} (x) cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{4} ( x ) + sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x ) + sin ^{2} ( x ) cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + cos ^{2} ( x ) sin ^{2} ( x )}{cos ^{2} ( x )}

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{2} ( x ) + ( 1 - sin ^{2} ( x ) ) sin ^{2} ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Espandi

cos^{4} (x) - sin^{2} (x) + (1 - sin^{2} (x)) sin^{2} (x) : cos^{4} (x) - sin^{4} (x)

cos^{4} (x) - sin^{2} (x) + (1 - sin^{2} (x)) sin^{2} (x)

= cos^{4} (x) - sin^{2} (x) + sin^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

Espandi

sin^{2} (x) (1 - sin^{2} (x)) : sin^{2} (x) - sin^{4} (x)

sin^{2} (x) (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = sin^{2} (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= sin^{2} (x) \cdot 1 - sin^{2} (x) sin^{2} (x)

= 1 \cdot sin^{2} (x) - sin^{2} (x) sin^{2} (x)

Semplifica

1 \cdot sin^{2} (x) - sin^{2} (x) sin^{2} (x) : sin^{2} (x) - sin^{4} (x)

1 \cdot sin^{2} (x) - sin^{2} (x) sin^{2} (x)

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

1 \cdot sin^{2} (x)

Moltiplicare:

1 \cdot sin^{2} (x) = sin^{2} (x)

= sin^{2} (x)

sin^{2} (x) sin^{2} (x) = sin^{4} (x)

sin^{2} (x) sin^{2} (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin^{2} (x) = sin^{2 + 2} (x)

= sin^{2 + 2} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 2 = 4

= sin^{4} (x)

= sin^{2} (x) - sin^{4} (x)

= sin^{2} (x) - sin^{4} (x)

= cos^{4} (x) - sin^{2} (x) + sin^{2} (x) - sin^{4} (x)

Aggiungi elementi simili:

- sin^{2} (x) + sin^{2} (x) = 0

= cos^{4} (x) - sin^{4} (x)

= \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

= \frac{cos ^{4} ( x ) - sin ^{4} ( x )}{1 - sin ^{2} ( x )}

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare cot(pi/2-x)=tan(x)

p ro v e cot (\frac{π}{2} - x) = tan (x)

dimostrare cot^2(x)-csc^2(x)=-1

p ro v e cot^{2} (x) - csc^{2} (x) = - 1

dimostrare cot(a)sec(a)=csc(a)

p ro v e cot (a) sec (a) = csc (a)

dimostrare tan(x/2)+cot(x/2)=2csc(x)

p ro v e tan (\frac{x}{2}) + cot (\frac{x}{2}) = 2 csc (x)

dimostrare sin((3pi)/2+x)=-cos(x)

p ro v e sin (\frac{3 π}{2} + x) = - cos (x)