English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Phổ biến Lượng giác >

chứng minh (cot(x)-1)/(cot(x)+1)=(cos(2x))/(1+sin(2x))

Lời Giải

chứng minh

\frac{cot ( x ) - 1}{cot ( x ) + 1} = \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

Lời Giải

Đ \overset{u}{ˊ} ng

Các bước giải pháp

\frac{cot ( x ) - 1}{cot ( x ) + 1} = \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

Thao tác bên trái

\frac{cot ( x ) - 1}{cot ( x ) + 1}

Biểu diễn dưới dạng sin, cos

\frac{- 1 + cot ( x )}{1 + cot ( x )}

Sử dụng hằng đẳng thức lượng giác cơ bản:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Rút gọn

\frac{- 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}} : \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) + cos ( x )}

\frac{- 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Hợp

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

Nhân:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{- 1 + \frac{c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{s i n ( x ) + c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Hợp

- 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

- 1 + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Chuyển phần tử thành phân số:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Vì các mẫu số bằng nhau, cộng các phân số:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- 1 \cdot sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

Nhân:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{\frac{- s i n ( x ) + c o s ( x )}{s i n ( x )}}{\frac{s i n ( x ) + c o s ( x )}{s i n ( x )}}

Chia phân số:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

= \frac{( - sin ( x ) + cos ( x ) ) sin ( x )}{sin ( x ) ( sin ( x ) + cos ( x ) )}

Triệt tiêu thừa số chung:

sin (x)

= \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) + cos ( x )}

= \frac{- sin ( x ) + cos ( x )}{sin ( x ) + cos ( x )}

= \frac{cos ( x ) - sin ( x )}{cos ( x ) + sin ( x )}

Nhân với

\frac{cos ( 2 x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}{cos ( 2 x ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{( cos ( x ) - sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Mở rộng

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) cos (2 x) : cos^{2} (x) cos (2 x) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) cos (2 x)

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) cos (2 x)

Áp dụng quy tắc số mũ:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

(cos (x) - sin (x)) (cos (x) - sin (x)) = (cos (x) - sin (x))^{1 + 1}

= (cos (x) - sin (x))^{1 + 1} cos (2 x)

Thêm các số:

1 + 1 = 2

= (cos (x) - sin (x))^{2} cos (2 x)

(cos (x) - sin (x))^{2} = cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

(cos (x) - sin (x))^{2}

Áp dụng công thức bình phương hoàn hảo:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x)

= cos (2 x) (cos^{2} (x) + sin^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x))

= cos (2 x) (cos^{2} (x) - 2 cos (x) sin (x) + sin^{2} (x))

Phân phối dấu ngoặc đơn

= cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (- 2 cos (x) sin (x)) + cos (2 x) sin^{2} (x)

Áp dụng quy tắc trừ-cộng

+ (- a) = - a

= cos^{2} (x) cos (2 x) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) + sin^{2} (x) cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Viết lại bằng cách sử dụng hằng đẳng thức lượng giác

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) sin ^{2} ( x ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Sử dụng hằng đẳng thức Pitago:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Rút gọn

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )} : \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

\frac{cos ( 2 x ) cos ^{2} ( x ) + cos ( 2 x ) ( 1 - cos ^{2} ( x ) ) - 2 cos ( 2 x ) cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Hệ số

cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (1 - cos^{2} (x)) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x) : cos (2 x) (1 - 2 cos (x) sin (x))

cos (2 x) cos^{2} (x) + cos (2 x) (1 - cos^{2} (x)) - 2 cos (2 x) cos (x) sin (x)

Đưa số hạng chung ra ngoài ngoặc

cos (2 x)

= cos (2 x) (cos^{2} (x) - cos^{2} (x) + 1 - 2 cos (x) sin (x))

Tinh chỉnh

= cos (2 x) (- 2 cos (x) sin (x) + 1)

= \frac{cos ( 2 x ) ( 1 - 2 cos ( x ) sin ( x ) )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) ) cos ( 2 x )}

Triệt tiêu thừa số chung:

cos (2 x)

= \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

= \frac{1 - 2 cos ( x ) sin ( x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Sử dụng công thức góc nhân đôi:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{( cos ( x ) + sin ( x ) ) ( cos ( x ) - sin ( x ) )}

Mở rộng

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x)) : cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

(cos (x) + sin (x)) (cos (x) - sin (x))

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = cos (x), b = sin (x)

= cos^{2} (x) - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ^{2} ( x ) - sin ^{2} ( x )}

Sử dụng công thức góc nhân đôi:

cos^{2} (x) - sin^{2} (x) = cos (2 x)

= \frac{1 - sin ( 2 x )}{cos ( 2 x )}

Nhân với

\frac{1 + sin ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

= \frac{( 1 - sin ( 2 x ) ) ( 1 + sin ( 2 x ) )}{( cos ( 2 x ) ) ( 1 + sin ( 2 x ) )}

Áp Dụng Công Thức Hiệu của Các Bình Phương:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(1 - sin (x)) (1 + sin (x)) = 1 - sin^{2} (x)

= \frac{1 - sin ^{2} ( 2 x )}{( cos ( 2 x ) ) ( 1 + sin ( 2 x ) )}

Sử dụng hằng đẳng thức Pitago:

1 = cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

1 - sin^{2} (x) = cos^{2} (x)

= \frac{cos ^{2} ( 2 x )}{( 1 + sin ( 2 x ) ) cos ( 2 x )}

Triệt tiêu thừa số chung:

cos (2 x)

= \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

= \frac{cos ( 2 x )}{1 + sin ( 2 x )}

Chúng tôi đã cho thấy rằng hai bên có thể có cùng một dạng

\Rightarrow Đ \overset{u}{ˊ} ng

Ví dụ phổ biến

chứng minh (1+tan^2(u))/(1-tan^2(u))= 1/(cos^2(u)-sin^2(u))

p ro v e \frac{1 + tan ^{2} ( u )}{1 - tan ^{2} ( u )} = \frac{1}{cos ^{2} ( u ) - sin ^{2} ( u )}

chứng minh 1+tan^2(-x)=sec^2(x)

p ro v e 1 + tan^{2} (- x) = sec^{2} (x)

chứng minh tan(pi/2-x)=cot(x)

p ro v e tan (\frac{π}{2} - x) = cot (x)

chứng minh cos(pi/4-x)+cos(pi/4+x)=sqrt(2)cos(x)

p ro v e cos (\frac{π}{4} - x) + cos (\frac{π}{4} + x) = 2 cos (x)

chứng minh sin^4(x)-cos^4(x)=-cos(2x)

p ro v e sin^{4} (x) - cos^{4} (x) = - cos (2 x)