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Popolare Trigonometria >

dimostrare sin^3(θ)= 3/4 sin(θ)-1/4 sin(3θ)

Soluzione

dimostrare

sin^{3} (θ) = \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Soluzione

Vero

Fasi della soluzione

sin^{3} (θ) = \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Manipolando il lato destro

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} sin (3 θ)

Usare l'identità seguente:

sin (3 x) = 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

sin (3 x)

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

sin (3 x)

Riscrivi come

= sin (2 x + x)

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= sin (2 x) cos (x) + cos (2 x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Semplifica

cos (2 x) sin (x) + cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) : sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (2 x) sin (x) + cos (x) 2 sin (x) cos (x)

cos (x) \cdot 2 sin (x) cos (x) = 2 cos^{2} (x) sin (x)

cos (x) 2 sin (x) cos (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 2 sin (x) cos^{1 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

1 + 1 = 2

= 2 sin (x) cos^{2} (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

= sin (x) cos (2 x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 cos^{2} (x) sin (x)

Usa l'identità pitagorica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Espandi

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

(1 - 2 sin^{2} (x)) sin (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

= sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) + 2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Espandi

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x)) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

sin (x) (1 - 2 sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = sin (x), b = 1, c = 2 sin^{2} (x)

= sin (x) 1 - sin (x) 2 sin^{2} (x)

= 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Semplifica

1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : sin (x) - 2 sin^{3} (x)

1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

1 \cdot sin (x) = sin (x)

1 sin (x)

Moltiplicare:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 (1 - sin^{2} (x)) sin (x)

Espandi

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x)) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 sin (x) (1 - sin^{2} (x))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = 2 sin (x), b = 1, c = sin^{2} (x)

= 2 sin (x) 1 - 2 sin (x) sin^{2} (x)

= 2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

Semplifica

2 \cdot 1 \cdot sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x) : 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

2 \cdot 1 sin (x) - 2 sin^{2} (x) sin (x)

2 \cdot 1 \cdot sin (x) = 2 sin (x)

2 \cdot 1 sin (x)

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= 2 sin (x)

2 sin^{2} (x) sin (x) = 2 sin^{3} (x)

2 sin^{2} (x) sin (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin^{2} (x) sin (x) = sin^{2 + 1} (x)

= 2 sin^{2 + 1} (x)

Aggiungi i numeri:

2 + 1 = 3

= 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

= sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Semplifica

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x) : - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

sin (x) - 2 sin^{3} (x) + 2 sin (x) - 2 sin^{3} (x)

Raggruppa termini simili

= - 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Aggiungi elementi simili:

- 2 sin^{3} (x) - 2 sin^{3} (x) = - 4 sin^{3} (x)

= - 4 sin^{3} (x) + sin (x) + 2 sin (x)

Aggiungi elementi simili:

sin (x) + 2 sin (x) = 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= - 4 sin^{3} (x) + 3 sin (x)

= 3 sin (x) - 4 sin^{3} (x)

= \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Semplifica

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)) : sin^{3} (θ)

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Espandi

- \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)) : - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

- \frac{1}{4} (3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ))

Applicare la legge della distribuzione:

a (b - c) = ab - a c

a = - \frac{1}{4}, b = 3 sin (θ), c = 4 sin^{3} (θ)

= - \frac{1}{4} \cdot 3 sin (θ) - (- \frac{1}{4}) \cdot 4 sin^{3} (θ)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

- (- a) = a

= - 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

Semplifica

- 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ) : - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

- 3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) + 4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ) = \frac{3}{4} sin (θ)

3 \cdot \frac{1}{4} sin (θ)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3}{4} sin (θ)

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3}{4} sin (θ)

4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ) = sin^{3} (θ)

4 \cdot \frac{1}{4} sin^{3} (θ)

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{4} sin^{3} (θ)

Cancella il fattore comune:

4

= sin^{3} (θ) \cdot 1

Moltiplicare:

sin^{3} (θ) \cdot 1 = sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

= - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

= - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

= \frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ) + sin^{3} (θ)

Aggiungi elementi simili:

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ) = 0

\frac{3}{4} sin (θ) - \frac{3}{4} sin (θ)

Fattorizzare dal termine comune

sin (θ)

= sin (θ) (\frac{3}{4} - \frac{3}{4})

\frac{3}{4} - \frac{3}{4} = 0

\frac{3}{4} - \frac{3}{4}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{3 - 3}{4}

Affinare

= 0

= 0

= sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

= sin^{3} (θ)

Abbiamo mostrato che i due lati possono prendere la stessa forma

\Rightarrow Vero

Esempi popolari

dimostrare tan^2(θ)+1=sec^2(θ)

p ro v e tan^{2} (θ) + 1 = sec^{2} (θ)

dimostrare (cos(x)sec(x))/(tan(x))=cot(x)

p ro v e \frac{cos ( x ) sec ( x )}{tan ( x )} = cot (x)

dimostrare (csc^2(t))/(cot(t))=csc(t)sec(t)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( t )}{cot ( t )} = csc (t) sec (t)

dimostrare (2cos(2x))/(sin(2x))=cot(x)-tan(x)

p ro v e \frac{2 cos ( 2 x )}{sin ( 2 x )} = cot (x) - tan (x)

dimostrare cot^2(t)-cos^2(t)=cot^2(t)cos^2(t)

p ro v e cot^{2} (t) - cos^{2} (t) = cot^{2} (t) cos^{2} (t)