English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Popular Trigonometria >

provar cot(x)+(sin(x))/(1+cos(x))=csc(x)

Solução

provar

cot (x) + \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} = csc (x)

Solução

Verdadeiro

Passos da solução

cot (x) + \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} = csc (x)

Manipular o lado direito

cot (x) + \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )}

Expresar com seno, cosseno

cot (x) + \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )}

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )}

Simplificar

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} : \frac{cos ( x ) ( cos ( x ) + 1 ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (x), 1 + cos (x) : sin (x) (cos (x) + 1)

sin (x), 1 + cos (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin (x)

quanto em

1 + cos (x)

= sin (x) (cos (x) + 1)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x) + 1

\frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{cos ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}

Para

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{1 + cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}

= \frac{cos ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ( x ) ( cos ( x ) + 1 ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}

= \frac{cos ( x ) ( cos ( x ) + 1 ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}

= \frac{sin ^{2} ( x ) + ( 1 + cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) sin ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

\frac{sin ^{2} ( x ) + ( 1 + cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) sin ( x )}

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= \frac{1 - cos ^{2} ( x ) + ( 1 + cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) sin ( x )}

Simplificar

\frac{1 - cos ^{2} ( x ) + ( 1 + cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) sin ( x )} : \frac{1}{sin ( x )}

\frac{1 - cos ^{2} ( x ) + ( 1 + cos ( x ) ) cos ( x )}{( 1 + cos ( x ) ) sin ( x )}

Expandir

1 - cos^{2} (x) + (1 + cos (x)) cos (x) : cos (x) + 1

1 - cos^{2} (x) + (1 + cos (x)) cos (x)

= 1 - cos^{2} (x) + cos (x) (1 + cos (x))

Expandir

cos (x) (1 + cos (x)) : cos (x) + cos^{2} (x)

cos (x) (1 + cos (x))

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = cos (x), b = 1, c = cos (x)

= cos (x) \cdot 1 + cos (x) cos (x)

= 1 \cdot cos (x) + cos (x) cos (x)

Simplificar

1 \cdot cos (x) + cos (x) cos (x) : cos (x) + cos^{2} (x)

1 \cdot cos (x) + cos (x) cos (x)

1 \cdot cos (x) = cos (x)

1 \cdot cos (x)

Multiplicar:

1 \cdot cos (x) = cos (x)

= cos (x)

cos (x) cos (x) = cos^{2} (x)

cos (x) cos (x)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= cos^{1 + 1} (x)

Somar:

1 + 1 = 2

= cos^{2} (x)

= cos (x) + cos^{2} (x)

= cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 - cos^{2} (x) + cos (x) + cos^{2} (x)

Simplificar

1 - cos^{2} (x) + cos (x) + cos^{2} (x) : cos (x) + 1

1 - cos^{2} (x) + cos (x) + cos^{2} (x)

Agrupar termos semelhantes

= - cos^{2} (x) + cos (x) + cos^{2} (x) + 1

Somar elementos similares:

- cos^{2} (x) + cos^{2} (x) = 0

= cos (x) + 1

= cos (x) + 1

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x ) ( cos ( x ) + 1 )}

Eliminar o fator comum:

cos (x) + 1

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

= \frac{1}{sin ( x )}

Reeecreva usando identidades trigonométricas

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

sin (x) = \frac{1}{csc ( x )}

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Simplificar

\frac{1}{\frac{1}{c s c ( x )}}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{1}{\frac{b}{c}} = \frac{c}{b}

= \frac{csc ( x )}{1}

Aplicar a regra

\frac{a}{1} = a

= csc (x)

csc (x)

csc (x)

Demonstramos que os dois lados podem adquirir a mesma forma

\Rightarrow Verdadeiro

Exemplos populares

provar (csc^2(x))/(2cot(x))=csc(2x)

p ro v e \frac{csc ^{2} ( x )}{2 cot ( x )} = csc (2 x)

provar cot(x)(sec^2(x)-1)=tan(x)

p ro v e cot (x) (sec^{2} (x) - 1) = tan (x)

provar (1-cos(x))(1+cos(x))=sin^2(x)

p ro v e (1 - cos (x)) (1 + cos (x)) = sin^{2} (x)

provar cot(2θ)=(cot^2(θ)-1)/(2cot(θ))

p ro v e cot (2 θ) = \frac{cot ^{2} ( θ ) - 1}{2 cot ( θ )}

provar (sec^2(x)-1)cos(x)=sin^2(x)sec(x)

p ro v e (sec^{2} (x) - 1) cos (x) = sin^{2} (x) sec (x)