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人気のある三角関数 >

証明する tan(x/2)=csc(x)-cot(x)

解

証明する

tan (\frac{x}{2}) = csc (x) - cot (x)

解

真

解答ステップ

tan (\frac{x}{2}) = csc (x) - cot (x)

仮定:

u = \frac{x}{2}

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u)

以下を証明する

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u) :

真

tan (u) = csc (2 u) - cot (2 u)

右側を操作する

csc (2 u) - cot (2 u)

サイン, コサインで表わす

- cot (2 u) + csc (2 u)

基本的な三角関数の公式を使用する:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + csc (2 u)

基本的な三角関数の公式を使用する:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )}

簡素化

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )} : \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

- \frac{cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )} + \frac{1}{sin ( 2 u )}

規則を適用

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( 2 u ) + 1}{sin ( 2 u )}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

三角関数の公式を使用して書き換える

\frac{1 - cos ( 2 u )}{sin ( 2 u )}

2倍角の公式を使用:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= \frac{1 - cos ( 2 u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

2倍角の公式を使用:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

簡素化

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )} : \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

\frac{1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( u ) )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

拡張

1 - (1 - 2 sin^{2} (u)) : 2 sin^{2} (u)

1 - (1 - 2 sin^{2} (u))

- (1 - 2 sin^{2} (u)) : - 1 + 2 sin^{2} (u)

- (1 - 2 sin^{2} (u))

括弧を分配する

= - (1) - (- 2 sin^{2} (u))

マイナス・プラスの規則を適用する

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (u)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (u)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (u)

= \frac{2 sin ^{2} ( u )}{2 sin ( u ) cos ( u )}

数を割る:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{sin ^{2} ( u )}{sin ( u ) cos ( u )}

共通因数を約分する:

sin (u)

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

= \frac{sin ( u )}{cos ( u )}

基本的な三角関数の公式を使用する:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

= tan (u)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

このため

tan (\frac{x}{2}) = csc (x) - cot (x)

両辺を同じ形式にできることを証明した

\Rightarrow 真

人気の例

証明する tan(x)cot(x)=1

p ro v e tan (x) cot (x) = 1

証明する 1/2 (cot(x)+tan(x))=csc(2x)

p ro v e \frac{1}{2} (cot (x) + tan (x)) = csc (2 x)

証明する tan(-x)cos(x)=-sin(x)

p ro v e tan (- x) cos (x) = - sin (x)

証明する tan(2pi-x)=-tan(x)

p ro v e tan (2 π - x) = - tan (x)

証明する sec(2x)=(sec^2(x))/(2-sec^2(x))

p ro v e sec (2 x) = \frac{sec ^{2} ( x )}{2 - sec ^{2} ( x )}