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prouver sin^3(2x)=(1/2 sin(2x))(1-cos(4x))

Solution

prouver

sin^{3} (2 x) = (\frac{1}{2} sin (2 x)) (1 - cos (4 x))

vrai

étapes des solutions

sin^{3} (2 x) = \frac{1}{2} sin (2 x) (1 - cos (4 x))

En manipulant le côté droit

\frac{1}{2} sin (2 x) (1 - cos (4 x))

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

\frac{1}{2} sin (2 x) (1 - cos (4 x))

= \frac{1}{2} sin (2 x) (1 - cos (2 \cdot 2 x))

Utiliser l'identité d'angle double:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= \frac{1}{2} sin (2 x) (1 - (1 - 2 sin^{2} (2 x)))

Simplifier

\frac{1}{2} sin (2 x) (1 - (1 - 2 sin^{2} (2 x))) : sin^{3} (2 x)

\frac{1}{2} sin (2 x) (1 - (1 - 2 sin^{2} (2 x)))

Multiplier des fractions:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot sin ( 2 x ) ( 1 - ( 1 - 2 sin ^{2} ( 2 x ) ) )}{2}

Multiplier:

1 \cdot sin (2 x) = sin (2 x)

= \frac{sin ( 2 x ) ( - ( - 2 sin ^{2} ( 2 x ) + 1 ) + 1 )}{2}

Développer

1 - (1 - 2 sin^{2} (2 x)) : 2 sin^{2} (2 x)

1 - (1 - 2 sin^{2} (2 x))

- (1 - 2 sin^{2} (2 x)) : - 1 + 2 sin^{2} (2 x)

- (1 - 2 sin^{2} (2 x))

Distribuer des parenthèses

= - (1) - (- 2 sin^{2} (2 x))

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a, - (a) = - a

= - 1 + 2 sin^{2} (2 x)

= 1 - 1 + 2 sin^{2} (2 x)

1 - 1 = 0

= 2 sin^{2} (2 x)

= \frac{2 sin ^{2} ( 2 x ) sin ( 2 x )}{2}

sin (2 x) \cdot 2 sin^{2} (2 x) = 2 sin^{3} (2 x)

sin (2 x) \cdot 2 sin^{2} (2 x)

Appliquer la règle de l'exposant:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (2 x) sin^{2} (2 x) = sin^{1 + 2} (2 x)

= 2 sin^{1 + 2} (2 x)

Additionner les nombres :

1 + 2 = 3

= 2 sin^{3} (2 x)

= \frac{2 sin ^{3} ( 2 x )}{2}

Diviser les nombres :

\frac{2}{2} = 1

= sin^{3} (2 x)

= sin^{3} (2 x)

= sin^{3} (2 x)

Nous avons démontré que les deux côtés pourraient avoir la même forme

\Rightarrow vrai

p ro v e sin (x + y) + sin (x - y) = 2 sin (x) cos (y)

p ro v e cos (2 θ) = cos^{2} (θ) - sin^{2} (θ)

p ro v e sin (3 θ) = 3 sin (θ) - 4 sin^{3} (θ)

p ro v e sin^{4} (t) - cos^{4} (t) = 1 - 2 cos^{2} (t)

p ro v e (1 - cos^{2} (x)) (1 + cot^{2} (x)) = 1