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Popular Trigonometria >

tan(x)=csc(x)

Solução

tan (x) = csc (x)

Solução

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Graus

x = 51.82729 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 308.17270 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

tan (x) = csc (x)

Subtrair

csc (x)

de ambos os lados

tan (x) - csc (x) = 0

Expresar com seno, cosseno

- csc (x) + tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

csc (x) = \frac{1}{sin ( x )}

= - \frac{1}{sin ( x )} + tan (x)

Utilizar a Identidade Básica da Trigonometria:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= - \frac{1}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Simplificar

- \frac{1}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{- cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

- \frac{1}{sin ( x )} + \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Mínimo múltiplo comum de

sin (x), cos (x) : sin (x) cos (x)

sin (x), cos (x)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

sin (x)

quanto em

cos (x)

= sin (x) cos (x)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{1}{sin ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (x)

\frac{1}{sin ( x )} = \frac{1 \cdot cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} = \frac{cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Para

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (x)

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{sin ( x ) sin ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= - \frac{cos ( x )}{sin ( x ) cos ( x )} + \frac{sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

= \frac{- cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{sin ( x ) cos ( x )}

\frac{- cos ( x ) + sin ^{2} ( x )}{cos ( x ) sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

- cos (x) + sin^{2} (x) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- cos (x) + sin^{2} (x)

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (x) + 1 - cos^{2} (x)

1 - cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Usando o método de substituição

1 - cos (x) - cos^{2} (x) = 0

Sea:

cos (x) = u

1 - u - u^{2} = 0

1 - u - u^{2} = 0 : u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

1 - u - u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - u + 1 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- u^{2} - u + 1 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 5

(- 1)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

4 \cdot 1 \cdot 1

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 4

= 1 + 4

Somar:

1 + 4 = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 5}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )} : - \frac{1 + 5}{2}

\frac{- ( - 1 ) + 5}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 + 5}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1 + 5}{2}

u = \frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )} : \frac{5 - 1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 5}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 5}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{1 - 5}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

1 - 5 = - (5 - 1)

= \frac{5 - 1}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{1 + 5}{2}, u = \frac{5 - 1}{2}

Substituir na equação

u = cos (x)

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}, cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2} :

Sem solução

cos (x) = - \frac{1 + 5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (x) = \frac{5 - 1}{2} : x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

Soluções gerais para

cos (x) = \frac{5 - 1}{2}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Combinar toda as soluções

x = arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{5 - 1}{2}) + 2 πn

Mostrar soluções na forma decimal

x = 0.90455 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.90455 \dots + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

0=1-sqrt(2)sin(x)

0 = 1 - 2 sin (x)

3csc(x)=6

3 csc (x) = 6

solvefor θ,x=sin(θ)

so l v e f or θ, x = sin (θ)

-12-3tan(θ)=-12+sqrt(3)

- 12 - 3 tan (θ) = - 12 + 3

12cosh(2x)+7sinh(x)-24=0

12 cosh (2 x) + 7 sinh (x) - 24 = 0