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Beliebt Trigonometrie >

5cos(x)cot(x)=1

Lösung

5 cos (x) cot (x) = 1

Lösung

x = 1.13135 \dots + 2 πn, x = π - 1.13135 \dots + 2 πn

Grad

x = 64.82160 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 115.17839 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

5 cos (x) cot (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

5 cos (x) cot (x) - 1 = 0

Drücke mit sin, cos aus

5 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 1 = 0

Vereinfache

5 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 1 : \frac{5 cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{sin ( x )}

5 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 1

5 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )} = \frac{5 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

5 cos (x) \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{cos ( x ) \cdot 5 cos ( x )}{sin ( x )}

cos (x) \cdot 5 cos (x) = 5 cos^{2} (x)

cos (x) \cdot 5 cos (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

cos (x) cos (x) = cos^{1 + 1} (x)

= 5 cos^{1 + 1} (x)

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= 5 cos^{2} (x)

= \frac{5 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )}

= \frac{5 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} - 1

Wandle das Element in einen Bruch um:

1 = \frac{1 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{5 cos ^{2} ( x )}{sin ( x )} - \frac{1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{5 cos ^{2} ( x ) - 1 \cdot sin ( x )}{sin ( x )}

Multipliziere:

1 \cdot sin (x) = sin (x)

= \frac{5 cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{5 cos ^{2} ( x ) - sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

5 cos^{2} (x) - sin (x) = 0

Füge

sin (x)

zu beiden Seiten hinzu

5 cos^{2} (x) = sin (x)

Quadriere beide Seiten

(5 cos^{2} (x))^{2} = sin^{2} (x)

Subtrahiere

sin^{2} (x)

von beiden Seiten

25 cos^{4} (x) - sin^{2} (x) = 0

Faktorisiere

25 cos^{4} (x) - sin^{2} (x) : (5 cos^{2} (x) + sin (x)) (5 cos^{2} (x) - sin (x))

25 cos^{4} (x) - sin^{2} (x)

Schreibe

25 cos^{4} (x) - sin^{2} (x)

um:

(5 cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x)

25 cos^{4} (x) - sin^{2} (x)

Schreibe

25

um:

5^{2}

= 5^{2} cos^{4} (x) - sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

cos^{4} (x) = (cos^{2} (x))^{2}

= 5^{2} (cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

5^{2} (cos^{2} (x))^{2} = (5 cos^{2} (x))^{2}

= (5 cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x)

= (5 cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x)

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(5 cos^{2} (x))^{2} - sin^{2} (x) = (5 cos^{2} (x) + sin (x)) (5 cos^{2} (x) - sin (x))

= (5 cos^{2} (x) + sin (x)) (5 cos^{2} (x) - sin (x))

(5 cos^{2} (x) + sin (x)) (5 cos^{2} (x) - sin (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

5 cos^{2} (x) + sin (x) = 0 or 5 cos^{2} (x) - sin (x) = 0

5 cos^{2} (x) + sin (x) = 0 : x = arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn

5 cos^{2} (x) + sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (x) + 5 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= sin (x) + 5 (1 - sin^{2} (x))

sin (x) + (1 - sin^{2} (x)) \cdot 5 = 0

Löse mit Substitution

sin (x) + (1 - sin^{2} (x)) \cdot 5 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

u + (1 - u^{2}) \cdot 5 = 0

u + (1 - u^{2}) \cdot 5 = 0 : u = - \frac{- 1 + 101}{10}, u = \frac{1 + 101}{10}

u + (1 - u^{2}) \cdot 5 = 0

Schreibe

u + (1 - u^{2}) \cdot 5

um:

u + 5 - 5 u^{2}

u + (1 - u^{2}) \cdot 5

= u + 5 (1 - u^{2})

Multipliziere aus

5 (1 - u^{2}) : 5 - 5 u^{2}

5 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 1, c = u^{2}

= 5 \cdot 1 - 5 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 - 5 u^{2}

= u + 5 - 5 u^{2}

u + 5 - 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} + u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 5 u^{2} + u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 5, b = 1, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 5}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 5}{2 ( - 5 )}

1^{2} - 4 (- 5) \cdot 5 = 101

1^{2} - 4 (- 5) \cdot 5

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 5) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

= 1 + 100

Addiere die Zahlen:

1 + 100 = 101

= 101

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 101}{2 ( - 5 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 101}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 101}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- 1 + 101}{2 ( - 5 )} : - \frac{- 1 + 101}{10}

\frac{- 1 + 101}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 101}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 1 + 101}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 1 + 101}{10}

u = \frac{- 1 - 101}{2 ( - 5 )} : \frac{1 + 101}{10}

\frac{- 1 - 101}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 101}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 1 - 101}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 1 - 101 = - (1 + 101)

= \frac{1 + 101}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{- 1 + 101}{10}, u = \frac{1 + 101}{10}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{- 1 + 101}{10}, sin (x) = \frac{1 + 101}{10}

sin (x) = - \frac{- 1 + 101}{10}, sin (x) = \frac{1 + 101}{10}

sin (x) = - \frac{- 1 + 101}{10} : x = arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn

sin (x) = - \frac{- 1 + 101}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = - \frac{- 1 + 101}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = - \frac{- 1 + 101}{10}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn

x = arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{1 + 101}{10} :

Keine Lösung

sin (x) = \frac{1 + 101}{10}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn

5 cos^{2} (x) - sin (x) = 0 : x = arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

5 cos^{2} (x) - sin (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- sin (x) + 5 cos^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - sin (x) + 5 (1 - sin^{2} (x))

- sin (x) + (1 - sin^{2} (x)) \cdot 5 = 0

Löse mit Substitution

- sin (x) + (1 - sin^{2} (x)) \cdot 5 = 0

Angenommen:

sin (x) = u

- u + (1 - u^{2}) \cdot 5 = 0

- u + (1 - u^{2}) \cdot 5 = 0 : u = - \frac{1 + 101}{10}, u = \frac{101 - 1}{10}

- u + (1 - u^{2}) \cdot 5 = 0

Schreibe

- u + (1 - u^{2}) \cdot 5

um:

- u + 5 - 5 u^{2}

- u + (1 - u^{2}) \cdot 5

= - u + 5 (1 - u^{2})

Multipliziere aus

5 (1 - u^{2}) : 5 - 5 u^{2}

5 (1 - u^{2})

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 5, b = 1, c = u^{2}

= 5 \cdot 1 - 5 u^{2}

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= 5 - 5 u^{2}

= - u + 5 - 5 u^{2}

- u + 5 - 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 5 u^{2} - u + 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 5 u^{2} - u + 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 5, b = - 1, c = 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 5}{2 ( - 5 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 5 ) \cdot 5}{2 ( - 5 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 5) \cdot 5 = 101

(- 1)^{2} - 4 (- 5) \cdot 5

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 5

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

4 \cdot 5 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 5 = 100

= 100

= 1 + 100

Addiere die Zahlen:

1 + 100 = 101

= 101

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 101}{2 ( - 5 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 101}{2 ( - 5 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 101}{2 ( - 5 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 101}{2 ( - 5 )} : - \frac{1 + 101}{10}

\frac{- ( - 1 ) + 101}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 101}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{1 + 101}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1 + 101}{10}

u = \frac{- ( - 1 ) - 101}{2 ( - 5 )} : \frac{101 - 1}{10}

\frac{- ( - 1 ) - 101}{2 ( - 5 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 101}{- 2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{1 - 101}{- 10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

1 - 101 = - (101 - 1)

= \frac{101 - 1}{10}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{1 + 101}{10}, u = \frac{101 - 1}{10}

Setze in

u = sin (x)

ein

sin (x) = - \frac{1 + 101}{10}, sin (x) = \frac{101 - 1}{10}

sin (x) = - \frac{1 + 101}{10}, sin (x) = \frac{101 - 1}{10}

sin (x) = - \frac{1 + 101}{10} :

Keine Lösung

sin (x) = - \frac{1 + 101}{10}

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (x) = \frac{101 - 1}{10} : x = arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

sin (x) = \frac{101 - 1}{10}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (x) = \frac{101 - 1}{10}

Allgemeine Lösung für

sin (x) = \frac{101 - 1}{10}

sin (x) = a \Rightarrow x = arcsin (a) + 2 πn, x = π - arcsin (a) + 2 πn

x = arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

x = arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn, x = π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn, x = arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

5 cos (x) cot (x) = 1

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn :

Falsch

arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 π 1

5 cos (x) cot (x) = 1

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 π 1) cot (arcsin (- \frac{- 1 + 101}{10}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn :

Falsch

π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 π 1

Setze

x = π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 π 1

5 cos (x) cot (x) = 1

ein, um zu lösen

5 cos (π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 π 1) cot (π + arcsin (\frac{- 1 + 101}{10}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

- 1 = 1

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn :

Wahr

arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 π 1

Setze

x = arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 π 1

5 cos (x) cot (x) = 1

ein, um zu lösen

5 cos (arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 π 1) cot (arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn :

Wahr

π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 π 1

Setze

x = π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 π 1

5 cos (x) cot (x) = 1

ein, um zu lösen

5 cos (π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 π 1) cot (π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 π 1) = 1

Fasse zusammen

1 = 1

\Rightarrow Wahr

x = arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn, x = π - arcsin (\frac{101 - 1}{10}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.13135 \dots + 2 πn, x = π - 1.13135 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-0.5=cos(3x)

- 0.5 = cos (3 x)

sin(3x)=-0.5

sin (3 x) = - 0.5

tan(x)= 5/8

tan (x) = \frac{5}{8}

cos(x)= 7/8

cos (x) = \frac{7}{8}

cos(6x)=1,0<= x<= pi/2

cos (6 x) = 1, 0 \leq x \leq \frac{π}{2}