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Beliebt Trigonometrie >

sin(x/2)+cos(x/2)=sqrt(2)

Lösung

sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) = 2

Lösung

x = 4 πn + \frac{π}{2}

Grad

x = 9 0^{\circ} + 72 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) = 2

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2})

sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2}) = 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

sin (\frac{x}{2}) + cos (\frac{x}{2})

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} cos (\frac{x}{2}))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (\frac{x}{2}) + sin (\frac{π}{4}) cos (\frac{x}{2}))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

= 2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})

2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 2

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 2

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( \frac{x}{2} + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{2}{2}

Vereinfache

sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 1

sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (\frac{x}{2} + \frac{π}{4}) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Löse

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn : x = 4 πn + \frac{π}{2}

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : \frac{x}{2}

\frac{x}{2} + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= \frac{x}{2}

Vereinfache

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{π}{2} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{2} - \frac{π}{4}

kleinstes gemeinsames Vielfache von

2, 4 : 4

2, 4

kleinstes gemeinsams Vielfaches (kgV)

Primfaktorzerlegung von

2 : 2

2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine Faktorisierung möglich

= 2

Primfaktorzerlegung von

4 : 2 \cdot 2

4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2

Multipliziere jeden Faktor mit der Anzahl wie häufig er in

2

oder

4

vorkommt

= 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4

Passe die Brüche mit Hilfe des kgV an

Multipliziere jeden Zähler mit der gleichen Betrag, die für den entsprechenden Nenner erforderlich ist,

um ihn in das kgV umzuwandeln

4

Für

\frac{π}{2} :

multipliziere den Nenner und Zähler mit

2

\frac{π}{2} = \frac{π 2}{2 \cdot 2} = \frac{π 2}{4}

= \frac{π 2}{4} - \frac{π}{4}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π 2 - π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

2 π - π = π

= 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{x}{2} = 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{x}{2} = 2 πn + \frac{π}{4}

\frac{x}{2} = 2 πn + \frac{π}{4}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{x}{2} = 2 πn + \frac{π}{4}

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} = 2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{π}{4}

Vereinfache

\frac{2 x}{2} : x

\frac{2 x}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= x

Vereinfache

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{π}{4} : 4 πn + \frac{π}{2}

2 \cdot 2 πn + 2 \cdot \frac{π}{4}

2 \cdot 2 πn = 4 πn

2 \cdot 2 πn

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 πn

2 \cdot \frac{π}{4} = \frac{π}{2}

2 \cdot \frac{π}{4}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{π 2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{π}{2}

= 4 πn + \frac{π}{2}

x = 4 πn + \frac{π}{2}

x = 4 πn + \frac{π}{2}

x = 4 πn + \frac{π}{2}

x = 4 πn + \frac{π}{2}

Graph

Beliebte Beispiele

2tan(x)-16=0,0<= x< pi/2

2 tan (x) - 16 = 0, 0 \leq x < \frac{π}{2}

4sec(x)+6=-2

4 sec (x) + 6 = - 2

tan(2x)= 1/4

tan (2 x) = \frac{1}{4}

2tan(x)-4=1

2 tan (x) - 4 = 1

csc(θ)=-2,0<= θ<4pi

csc (θ) = - 2, 0 \leq θ < 4 π