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Beliebt Trigonometrie >

6sin(x)=cos(x)-3

Lösung

6 sin (x) = cos (x) - 3

Lösung

x = - 2.46068 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.35061 \dots + 2 πn

Grad

x = - 140.98675 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 339.91139 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

6 sin (x) = cos (x) - 3

Quadriere beide Seiten

(6 sin (x))^{2} = (cos (x) - 3)^{2}

Subtrahiere

(cos (x) - 3)^{2}

von beiden Seiten

36 sin^{2} (x) - cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 9 - cos^{2} (x) + 36 sin^{2} (x) + 6 cos (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - 9 - cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x)

Vereinfache

- 9 - cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x) : 6 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 27

- 9 - cos^{2} (x) + 36 (1 - cos^{2} (x)) + 6 cos (x)

Multipliziere aus

36 (1 - cos^{2} (x)) : 36 - 36 cos^{2} (x)

36 (1 - cos^{2} (x))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 36, b = 1, c = cos^{2} (x)

= 36 \cdot 1 - 36 cos^{2} (x)

Multipliziere die Zahlen:

36 \cdot 1 = 36

= 36 - 36 cos^{2} (x)

= - 9 - cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Vereinfache

- 9 - cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) + 6 cos (x) : 6 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 27

- 9 - cos^{2} (x) + 36 - 36 cos^{2} (x) + 6 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 + 36

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - 36 cos^{2} (x) = - 37 cos^{2} (x)

= - 37 cos^{2} (x) + 6 cos (x) - 9 + 36

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 9 + 36 = 27

= 6 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 27

= 6 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 27

= 6 cos (x) - 37 cos^{2} (x) + 27

27 - 37 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

27 - 37 cos^{2} (x) + 6 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

27 - 37 u^{2} + 6 u = 0

27 - 37 u^{2} + 6 u = 0 : u = - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}, u = \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

27 - 37 u^{2} + 6 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 37 u^{2} + 6 u + 27 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 37 u^{2} + 6 u + 27 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 37, b = 6, c = 27

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 37 ) \cdot 27}{2 ( - 37 )}

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 6 ^{2} - 4 ( - 37 ) \cdot 27}{2 ( - 37 )}

6^{2} - 4 (- 37) \cdot 27 = 247

6^{2} - 4 (- 37) \cdot 27

Wende Regel an

- (- a) = a

= 6^{2} + 4 \cdot 37 \cdot 27

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 37 \cdot 27 = 3996

= 6^{2} + 3996

6^{2} = 36

= 36 + 3996

Addiere die Zahlen:

36 + 3996 = 4032

= 4032

Primfaktorzerlegung von

4032 : 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 7

4032

4032

ist durch

24032 = 2016 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2016

2016

ist durch

22016 = 1008 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 1008

1008

ist durch

21008 = 504 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 504

504

ist durch

2504 = 252 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 252

252

ist durch

2252 = 126 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 126

126

ist durch

2126 = 63 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 63

63

ist durch

363 = 21 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 21

21

ist durch

321 = 7 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

2, 3, 7

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 7

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 7

= 2^{6} \cdot 3^{2} \cdot 7

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 7 2^{6} 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{6} = 2^{\frac{6}{2}} = 2^{3}

= 2^{3} 7 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 2^{3} \cdot 37

Fasse zusammen

= 247

u_{1, 2} = \frac{- 6 \pm 24 7}{2 ( - 37 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 6 + 24 7}{2 ( - 37 )}, u_{2} = \frac{- 6 - 24 7}{2 ( - 37 )}

u = \frac{- 6 + 24 7}{2 ( - 37 )} : - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}

\frac{- 6 + 24 7}{2 ( - 37 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 + 24 7}{- 2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 6 + 24 7}{- 74}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{- 6 + 24 7}{74}

Streiche

\frac{- 6 + 24 7}{74} : \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}

\frac{- 6 + 24 7}{74}

Faktorisiere

- 6 + 247 : 6 (- 1 + 47)

- 6 + 247

Schreibe um

= - 6 \cdot 1 + 6 \cdot 47

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (- 1 + 47)

= \frac{6 ( - 1 + 4 7 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}

= - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}

u = \frac{- 6 - 24 7}{2 ( - 37 )} : \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

\frac{- 6 - 24 7}{2 ( - 37 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 6 - 24 7}{- 2 \cdot 37}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 37 = 74

= \frac{- 6 - 24 7}{- 74}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

- 6 - 247 = - (6 + 247)

= \frac{6 + 24 7}{74}

Faktorisiere

6 + 247 : 6 (1 + 47)

6 + 247

Schreibe um

= 6 \cdot 1 + 6 \cdot 47

Klammere gleiche Terme aus

6

= 6 (1 + 47)

= \frac{6 ( 1 + 4 7 )}{74}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}, u = \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}, cos (x) = \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

cos (x) = - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}, cos (x) = \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

cos (x) = - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37} : x = arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn

cos (x) = - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn

x = arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37} : x = arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn

cos (x) = \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn

x = arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = - arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

6 sin (x) = cos (x) - 3

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn :

Falsch

arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 π 1

6 sin (x) = cos (x) - 3

ein, um zu lösen

6 sin (arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 π 1) = cos (arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 π 1) - 3

Fasse zusammen

3.77700 \dots = - 3.77700 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

- arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn :

Wahr

- arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

- arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 π 1

Setze

x = - arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 π 1

6 sin (x) = cos (x) - 3

ein, um zu lösen

6 sin (- arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 π 1) = cos (- arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 π 1) - 3

Fasse zusammen

- 3.77700 \dots = - 3.77700 \dots

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn :

Falsch

arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 π 1

Setze

x = arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 π 1

6 sin (x) = cos (x) - 3

ein, um zu lösen

6 sin (arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 π 1) = cos (arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 π 1) - 3

Fasse zusammen

2.06083 \dots = - 2.06083 \dots

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn :

Wahr

2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn

Setze ein

n = 1

2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 π 1

Setze

x = 2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 π 1

6 sin (x) = cos (x) - 3

ein, um zu lösen

6 sin (2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 π 1) = cos (2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 π 1) - 3

Fasse zusammen

- 2.06083 \dots = - 2.06083 \dots

\Rightarrow Wahr

x = - arccos (- \frac{3 ( 4 7 - 1 )}{37}) + 2 πn, x = 2 π - arccos (\frac{3 ( 1 + 4 7 )}{37}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = - 2.46068 \dots + 2 πn, x = 2 π - 0.35061 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

-2sin(4x)=0

- 2 sin (4 x) = 0

2sin(x)+sqrt(3)=0,0<= x<= 2pi

2 sin (x) + 3 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

cos(2x)=1-sin(2x),0<= x<= 2pi

cos (2 x) = 1 - sin (2 x), 0 \leq x \leq 2 π

0=1+2sin(θ)

0 = 1 + 2 sin (θ)

csc(x-pi/3)=2

csc (x - \frac{π}{3}) = 2