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Popular Trigonometria >

arctan(x+1)+arctan(x-1)=arctan(8/31)

Solução

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (\frac{8}{31})

Solução

x = \frac{1}{4}

Passos da solução

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (\frac{8}{31})

Reeecreva usando identidades trigonométricas

arctan (x + 1) + arctan (x - 1)

Use a identidade da transformação de soma em produto:

arctan (s) + arctan (t) = arctan (\frac{s + t}{1 - s t})

= arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )})

arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}) = arctan (\frac{8}{31})

Aplique as propriedades trigonométricas inversas

arctan (\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}) = arctan (\frac{8}{31})

arctan (x) = a \Rightarrow x = tan (a)

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = tan (arctan (\frac{8}{31}))

tan (arctan (\frac{8}{31})) = \frac{8}{31}

tan (arctan (\frac{8}{31}))

Reeecreva usando identidades trigonométricas:

tan (arctan (\frac{8}{31})) = \frac{8}{31}

Usar a seguinte identidade:

tan (arctan (x)) = x

= \frac{8}{31}

= \frac{8}{31}

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{8}{31}

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{8}{31}

Resolver

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{8}{31} : x = - 8, x = \frac{1}{4}

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{8}{31}

Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três)

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} = \frac{8}{31}

Simplificar

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )} : \frac{2 x}{- x ^{2} + 2}

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

x + 1 + x - 1 = 2 x

x + 1 + x - 1

Agrupar termos semelhantes

= x + x + 1 - 1

Somar elementos similares:

x + x = 2 x

= 2 x + 1 - 1

1 - 1 = 0

= 2 x

= \frac{2 x}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

Expandir

1 - (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 2

1 - (x + 1) (x - 1)

Expandir

- (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 1

Expandir

(x + 1) (x - 1) : x^{2} - 1

(x + 1) (x - 1)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= - (x^{2} - 1)

Colocar os parênteses

= - (x^{2}) - (- 1)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + 1

= 1 - x^{2} + 1

Simplificar

1 - x^{2} + 1 : - x^{2} + 2

1 - x^{2} + 1

Agrupar termos semelhantes

= - x^{2} + 1 + 1

Somar:

1 + 1 = 2

= - x^{2} + 2

= - x^{2} + 2

= \frac{2 x}{- x ^{2} + 2}

\frac{2 x}{- x ^{2} + 2} = \frac{8}{31}

Utilizar multiplicação cruzada de frações (regra de três): Se

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

então

a \cdot d = b \cdot c

2 x \cdot 31 = (- x^{2} + 2) \cdot 8

Simplificar

2 x \cdot 31 : 62 x

2 x \cdot 31

Multiplicar os números:

2 \cdot 31 = 62

= 62 x

62 x = (- x^{2} + 2) \cdot 8

62 x = (- x^{2} + 2) \cdot 8

Resolver

62 x = (- x^{2} + 2) \cdot 8 : x = - 8, x = \frac{1}{4}

62 x = (- x^{2} + 2) \cdot 8

Expandir

(- x^{2} + 2) \cdot 8 : - 8 x^{2} + 16

(- x^{2} + 2) \cdot 8

= 8 (- x^{2} + 2)

Colocar os parênteses utilizando:

a (b + c) = ab + a c

a = 8, b = - x^{2}, c = 2

= 8 (- x^{2}) + 8 \cdot 2

Aplicar as regras dos sinais

+ (- a) = - a

= - 8 x^{2} + 8 \cdot 2

Multiplicar os números:

8 \cdot 2 = 16

= - 8 x^{2} + 16

62 x = - 8 x^{2} + 16

Trocar lados

- 8 x^{2} + 16 = 62 x

Mova

62 x

para o lado esquerdo

- 8 x^{2} + 16 = 62 x

Subtrair

62 x

de ambos os lados

- 8 x^{2} + 16 - 62 x = 62 x - 62 x

Simplificar

- 8 x^{2} + 16 - 62 x = 0

- 8 x^{2} + 16 - 62 x = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 8 x^{2} - 62 x + 16 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 8 x^{2} - 62 x + 16 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 8, b = - 62, c = 16

x_{1, 2} = \frac{- ( - 62 ) \pm ( - 62 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 16}{2 ( - 8 )}

x_{1, 2} = \frac{- ( - 62 ) \pm ( - 62 ) ^{2} - 4 ( - 8 ) \cdot 16}{2 ( - 8 )}

(- 62)^{2} - 4 (- 8) \cdot 16 = 66

(- 62)^{2} - 4 (- 8) \cdot 16

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 62)^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 16

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 62)^{2} = 6 2^{2}

= 6 2^{2} + 4 \cdot 8 \cdot 16

Multiplicar os números:

4 \cdot 8 \cdot 16 = 512

= 6 2^{2} + 512

6 2^{2} = 3844

= 3844 + 512

Somar:

3844 + 512 = 4356

= 4356

Fatorar o número:

4356 = 6 6^{2}

= 6 6^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

6 6^{2} = 66

= 66

x_{1, 2} = \frac{- ( - 62 ) \pm 66}{2 ( - 8 )}

Separe as soluções

x_{1} = \frac{- ( - 62 ) + 66}{2 ( - 8 )}, x_{2} = \frac{- ( - 62 ) - 66}{2 ( - 8 )}

x = \frac{- ( - 62 ) + 66}{2 ( - 8 )} : - 8

\frac{- ( - 62 ) + 66}{2 ( - 8 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{62 + 66}{- 2 \cdot 8}

Somar:

62 + 66 = 128

= \frac{128}{- 2 \cdot 8}

Multiplicar os números:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{128}{- 16}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{128}{16}

Dividir:

\frac{128}{16} = 8

= - 8

x = \frac{- ( - 62 ) - 66}{2 ( - 8 )} : \frac{1}{4}

\frac{- ( - 62 ) - 66}{2 ( - 8 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{62 - 66}{- 2 \cdot 8}

Subtrair:

62 - 66 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 8}

Multiplicar os números:

2 \cdot 8 = 16

= \frac{- 4}{- 16}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{16}

Eliminar o fator comum:

4

= \frac{1}{4}

As soluções para a equação de segundo grau são:

x = - 8, x = \frac{1}{4}

x = - 8, x = \frac{1}{4}

Verifique soluções

Encontrar os pontos não definidos (singularidades):

x = - 2, x = 2

Tomar o(s) denominador(es) de

\frac{x + 1 + x - 1}{1 - ( x + 1 ) ( x - 1 )}

e comparar com zero

Resolver

1 - (x + 1) (x - 1) = 0 : x = - 2, x = 2

1 - (x + 1) (x - 1) = 0

Expandir

1 - (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 2

1 - (x + 1) (x - 1)

Expandir

- (x + 1) (x - 1) : - x^{2} + 1

Expandir

(x + 1) (x - 1) : x^{2} - 1

(x + 1) (x - 1)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

a = x, b = 1

= x^{2} - 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= x^{2} - 1

= - (x^{2} - 1)

Colocar os parênteses

= - (x^{2}) - (- 1)

Aplicar as regras dos sinais

- (- a) = a, - (a) = - a

= - x^{2} + 1

= 1 - x^{2} + 1

Simplificar

1 - x^{2} + 1 : - x^{2} + 2

1 - x^{2} + 1

Agrupar termos semelhantes

= - x^{2} + 1 + 1

Somar:

1 + 1 = 2

= - x^{2} + 2

= - x^{2} + 2

- x^{2} + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- x^{2} + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 1, b = 0, c = 2

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 0 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

0^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 22

0^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Aplicar a regra

0^{a} = 0

0^{2} = 0

= 0 - 4 (- 1) \cdot 2

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 0 + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 0 + 8

Somar:

0 + 8 = 8

= 8

Decomposição em fatores primos de

8 : 2^{3}

8

8

dividida por

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

dividida por

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

es un número primo, por lo tanto, não é possível fatorá-lo mais

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Aplicar as propriedades dos radicais:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

x_{1, 2} = \frac{- 0 \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Separe as soluções

x_{1} = \frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )}, x_{2} = \frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )}

x = \frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 2

\frac{- 0 + 2 2}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 0 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

- 0 + 22 = 22

= \frac{2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 2}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - 2

x = \frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2

\frac{- 0 - 2 2}{2 ( - 1 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 0 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

- 0 - 22 = - 22

= \frac{- 2 2}{- 2 \cdot 1}

Multiplicar os números:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 2 2}{- 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2 2}{2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= 2

As soluções para a equação de segundo grau são:

x = - 2, x = 2

Os seguintes pontos são indefinidos

x = - 2, x = 2

Combinar os pontos indefinidos com as soluções:

x = - 8, x = \frac{1}{4}

x = - 8, x = \frac{1}{4}

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (\frac{8}{31})

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

- 8 :

Falso

- 8

Inserir

n = 1

- 8

Para

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (\frac{8}{31})

inserir

x = - 8

arctan (- 8 + 1) + arctan (- 8 - 1) = arctan (\frac{8}{31})

Simplificar

- 2.88903 \dots = 0.25255 \dots

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{1}{4} :

Verdadeiro

\frac{1}{4}

Inserir

n = 1

\frac{1}{4}

Para

arctan (x + 1) + arctan (x - 1) = arctan (\frac{8}{31})

inserir

x = \frac{1}{4}

arctan (\frac{1}{4} + 1) + arctan (\frac{1}{4} - 1) = arctan (\frac{8}{31})

Simplificar

0.25255 \dots = 0.25255 \dots

\Rightarrow Verdadeiro

x = \frac{1}{4}

Gráfico

Exemplos populares

4cos(2θ)+19=-22cos(θ)+6

4 cos (2 θ) + 19 = - 22 cos (θ) + 6

8cos^2(x)+16cos(x)+8=0

8 cos^{2} (x) + 16 cos (x) + 8 = 0

cos(x)=-0.35

cos (x) = - 0.35

cos(x)=-0.25

cos (x) = - 0.25

1+sin^2(x)=cos^2(x)

1 + sin^{2} (x) = cos^{2} (x)