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4sin(2θ)-5sin(θ)=0

Lösung

4 sin (2 θ) - 5 sin (θ) = 0

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 0.89566 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.89566 \dots + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 51.31781 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 308.68218 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sin (2 θ) - 5 sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 sin (2 θ) - 5 sin (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 4 \cdot 2 sin (θ) cos (θ) - 5 sin (θ)

Vereinfache

= 8 sin (θ) cos (θ) - 5 sin (θ)

- 5 sin (θ) + 8 cos (θ) sin (θ) = 0

Faktorisiere

- 5 sin (θ) + 8 cos (θ) sin (θ) : sin (θ) (8 cos (θ) - 5)

- 5 sin (θ) + 8 cos (θ) sin (θ)

Klammere gleiche Terme aus

sin (θ)

= sin (θ) (- 5 + 8 cos (θ))

sin (θ) (8 cos (θ) - 5) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or 8 cos (θ) - 5 = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

8 cos (θ) - 5 = 0 : θ = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

8 cos (θ) - 5 = 0

Verschiebe

5

auf die rechte Seite

8 cos (θ) - 5 = 0

Füge

5

zu beiden Seiten hinzu

8 cos (θ) - 5 + 5 = 0 + 5

Vereinfache

8 cos (θ) = 5

8 cos (θ) = 5

Teile beide Seiten durch

8

8 cos (θ) = 5

Teile beide Seiten durch

8

\frac{8 cos ( θ )}{8} = \frac{5}{8}

Vereinfache

cos (θ) = \frac{5}{8}

cos (θ) = \frac{5}{8}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (θ) = \frac{5}{8}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{5}{8}

cos (x) = a \Rightarrow x = arccos (a) + 2 πn, x = 2 π - arccos (a) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

θ = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn, θ = 2 π - arccos (\frac{5}{8}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = 0.89566 \dots + 2 πn, θ = 2 π - 0.89566 \dots + 2 πn

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) = sin (x)

4 cos (2 θ) + 11 sin (θ) - 4 = 3

cos (x) = \frac{5}{15}

(cot (θ) + 1) (csc (θ) - \frac{1}{2}) = 0

cos (x) = \frac{50}{86}