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Beliebt Trigonometrie >

2cos(θ)+1=sec(θ)

Lösung

2 cos (θ) + 1 = sec (θ)

Lösung

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (θ) + 1 = sec (θ)

Subtrahiere

sec (θ)

von beiden Seiten

2 cos (θ) + 1 - sec (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 - sec (θ) + 2 cos (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= 1 - sec (θ) + 2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )} = \frac{2}{sec ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ( θ )}

= 1 - sec (θ) + \frac{2}{sec ( θ )}

1 + \frac{2}{sec ( θ )} - sec (θ) = 0

Löse mit Substitution

1 + \frac{2}{sec ( θ )} - sec (θ) = 0

Angenommen:

sec (θ) = u

1 + \frac{2}{u} - u = 0

1 + \frac{2}{u} - u = 0 : u = - 1, u = 2

1 + \frac{2}{u} - u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

1 + \frac{2}{u} - u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

1 \cdot u + \frac{2}{u} u - uu = 0 \cdot u

Vereinfache

1 \cdot u + \frac{2}{u} u - uu = 0 \cdot u

Vereinfache

1 \cdot u : u

1 \cdot u

Multipliziere:

1 \cdot u = u

= u

Vereinfache

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 2

Vereinfache

- uu : - u^{2}

- uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - u^{2}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

u + 2 - u^{2} = 0

u + 2 - u^{2} = 0

u + 2 - u^{2} = 0

Löse

u + 2 - u^{2} = 0 : u = - 1, u = 2

u + 2 - u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} + u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- u^{2} + u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 1, b = 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 2}{2 ( - 1 )}

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 2 = 3

1^{2} - 4 (- 1) \cdot 2

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 4 (- 1) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 + 4 \cdot 1 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 2 = 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 1 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 1 )} : - 1

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 \cdot 1}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 1 )} : 2

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 1 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 \cdot 1}

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{- 4}{- 2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{2} = 2

= 2

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = 2

u = - 1, u = 2

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

1 + \frac{2}{u} - u

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - 1, u = 2

Setze in

u = sec (θ)

ein

sec (θ) = - 1, sec (θ) = 2

sec (θ) = - 1, sec (θ) = 2

sec (θ) = - 1 : θ = π + 2 πn

sec (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sec (θ) = - 1

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = π + 2 πn

θ = π + 2 πn

sec (θ) = 2 : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = 2

Allgemeine Lösung für

sec (θ) = 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

tan(θ)=-(sqrt(2))/2

tan (θ) = - \frac{2}{2}

tan(θ)=-(sqrt(2))/3

tan (θ) = - \frac{2}{3}

sin^2(θ)-sin(θ)-2=0

sin^{2} (θ) - sin (θ) - 2 = 0

tan(2θ)=3

tan (2 θ) = 3

sin^2(x)-6cos(x)-6=0

sin^{2} (x) - 6 cos (x) - 6 = 0