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Beliebt Trigonometrie >

sqrt(3)=sqrt(3)cos(2θ)+sin(2θ)

Lösung

3 = 3 cos (2 θ) + sin (2 θ)

Lösung

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 3 0^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 = 3 cos (2 θ) + sin (2 θ)

Tausche die Seiten

3 cos (2 θ) + sin (2 θ) = 3

Subtrahiere

3

von beiden Seiten

3 cos (2 θ) + sin (2 θ) - 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

sin (2 θ) - 3 + cos (2 θ) 3

Verwende die Doppelwinkelidentität:

sin (2 x) = 2 sin (x) cos (x)

= 2 sin (θ) cos (θ) - 3 + 3 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 3 + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) + 2 cos (θ) sin (θ)

Vereinfache

- 3 + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) + 2 cos (θ) sin (θ) : - 23 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

- 3 + 3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) + 2 cos (θ) sin (θ)

Multipliziere aus

3 (1 - 2 sin^{2} (θ)) : 3 - 23 sin^{2} (θ)

3 (1 - 2 sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 1, c = 2 sin^{2} (θ)

= 3 \cdot 1 - 3 \cdot 2 sin^{2} (θ)

= 1 \cdot 3 - 23 sin^{2} (θ)

Multipliziere:

1 \cdot 3 = 3

= 3 - 23 sin^{2} (θ)

= - 3 + 3 - 23 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

Addiere gleiche Elemente:

- 3 + 3 = 0

= - 23 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

= - 23 sin^{2} (θ) + 2 cos (θ) sin (θ)

2 cos (θ) sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) 3 = 0

Faktorisiere

2 cos (θ) sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) 3 : 2 sin (θ) (cos (θ) - 3 sin (θ))

2 cos (θ) sin (θ) - 2 sin^{2} (θ) 3

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} a^{c}

sin^{2} (θ) = sin (θ) sin (θ)

= 2 cos (θ) sin (θ) - 2 sin (θ) sin (θ) 3

Schreibe um

= 2 sin (θ) cos (θ) - 2 sin (θ) sin (θ) 3

Klammere gleiche Terme aus

2 sin (θ)

= 2 sin (θ) (cos (θ) - sin (θ) 3)

2 sin (θ) (cos (θ) - 3 sin (θ)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

sin (θ) = 0 or cos (θ) - 3 sin (θ) = 0

sin (θ) = 0 : θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

sin (θ) = 0

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 0

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

θ = 0 + 2 πn, θ = π + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn

cos (θ) - 3 sin (θ) = 0 : θ = \frac{π}{6} + πn

cos (θ) - 3 sin (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cos (θ) - 3 sin (θ) = 0

Teile beide Seiten durch

cos (θ), cos (θ) \neq = 0

\frac{cos ( θ ) - 3 sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{0}{cos ( θ )}

Vereinfache

1 - \frac{3 sin ( θ )}{cos ( θ )} = 0

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

\frac{sin ( x )}{cos ( x )} = tan (x)

1 - 3 tan (θ) = 0

1 - 3 tan (θ) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 - 3 tan (θ) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 - 3 tan (θ) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

- 3 tan (θ) = - 1

- 3 tan (θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 3

- 3 tan (θ) = - 1

Teile beide Seiten durch

- 3

\frac{- 3 tan ( θ )}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

Vereinfache

\frac{- 3 tan ( θ )}{- 3} = \frac{- 1}{- 3}

Vereinfache

\frac{- 3 tan ( θ )}{- 3} : tan (θ)

\frac{- 3 tan ( θ )}{- 3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{3 tan ( θ )}{3}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

3

= tan (θ)

Vereinfache

\frac{- 1}{- 3} : \frac{3}{3}

\frac{- 1}{- 3}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{1}{3}

Rationalisiere

\frac{1}{3} : \frac{3}{3}

\frac{1}{3}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{3}{3}

= \frac{1 \cdot 3}{3 3}

1 \cdot 3 = 3

33 = 3

33

Wende Radikal Regel an:

a a = a

33 = 3

= 3

= \frac{3}{3}

= \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (θ) = \frac{3}{3}

Allgemeine Lösung für

tan (θ) = \frac{3}{3}

tan (x)

Periodizitätstabelle mit

πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} tan (x) 0 \frac{3}{3} 13 \pm \infty - 3 - 1 - \frac{3}{3}

θ = \frac{π}{6} + πn

θ = \frac{π}{6} + πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = π + 2 πn, θ = \frac{π}{6} + πn

Graph

Beliebte Beispiele

6cos(x)+6sin(x)=3sqrt(6)

6 cos (x) + 6 sin (x) = 36

3sin(x)+1=0

3 sin (x) + 1 = 0

(tan(x)+1)(cos(x)-1)=0

(tan (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

cot(θ)=-1/(sqrt(3))

cot (θ) = - \frac{1}{3}

3sqrt(2)cos(θ)+3=6

32 cos (θ) + 3 = 6