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Popolare Trigonometria >

cos(x/3)-cos(x/(15))=0

Soluzione

cos (\frac{x}{3}) - cos (\frac{x}{15}) = 0

Soluzione

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn, x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Gradi

x = 0^{\circ} + 270 0^{\circ} n, x = 135 0^{\circ} + 270 0^{\circ} n, x = 0^{\circ} + 180 0^{\circ} n, x = 90 0^{\circ} + 180 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

cos (\frac{x}{3}) - cos (\frac{x}{15}) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- cos (\frac{x}{15}) + cos (\frac{x}{3})

Usa la formula della somma al prodotto:

cos (s) - cos (t) = - 2 sin (\frac{s + t}{2}) sin (\frac{s - t}{2})

= - 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

Semplificare

- 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2}) : - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

- 2 sin (\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2} = \frac{x}{5}

\frac{\frac{x}{3} + \frac{x}{15}}{2}

Unisci

\frac{x}{3} + \frac{x}{15} : \frac{2 x}{5}

\frac{x}{3} + \frac{x}{15}

Minimo Comune Multiplo di

3, 15 : 15

3, 15

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

15 : 3 \cdot 5

15

15

diviso per

315 = 5 \cdot 3

= 3 \cdot 5

3, 5

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 3 \cdot 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 15

= 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

15

Per

\frac{x}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{x \cdot 5}{15}

= \frac{x \cdot 5}{15} + \frac{x}{15}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 5 + x}{15}

Aggiungi elementi simili:

5 x + x = 6 x

= \frac{6 x}{15}

Cancella il fattore comune:

3

= \frac{2 x}{5}

= \frac{\frac{2 x}{5}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{2 x}{5 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

5 \cdot 2 = 10

= \frac{2 x}{10}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{x}{5}

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2})

\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2} = \frac{2 x}{15}

\frac{\frac{x}{3} - \frac{x}{15}}{2}

Unisci

\frac{x}{3} - \frac{x}{15} : \frac{4 x}{15}

\frac{x}{3} - \frac{x}{15}

Minimo Comune Multiplo di

3, 15 : 15

3, 15

Minimo Comune Multiplo (mcm)

Fattorizzazione prima di

3 : 3

3

3

è un numero primo, quindi non è possibile la sua fattorizzazione

= 3

Fattorizzazione prima di

15 : 3 \cdot 5

15

15

diviso per

315 = 5 \cdot 3

= 3 \cdot 5

3, 5

sono tutti numeri primi, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 3 \cdot 5

Moltiplica ogni fattore per il numero massimo di volte in cui si presenta in 3 o 15

= 3 \cdot 5

Moltiplica i numeri:

3 \cdot 5 = 15

= 15

Adeguare le frazioni in base al minimo comune multiplo (mcm)

Moltiplicare ogni numeratore per la stessa quantità necessaria a moltiplicare il suo

corrispondente denominatore per trasformarlo in mcm

15

Per

\frac{x}{3} :

moltiplica il numeratore e il denominatore per

5

\frac{x}{3} = \frac{x \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{x \cdot 5}{15}

= \frac{x \cdot 5}{15} - \frac{x}{15}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{x \cdot 5 - x}{15}

Aggiungi elementi simili:

5 x - x = 4 x

= \frac{4 x}{15}

= \frac{\frac{4 x}{15}}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{4 x}{15 \cdot 2}

Moltiplica i numeri:

15 \cdot 2 = 30

= \frac{4 x}{30}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{2 x}{15}

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

= - 2 sin (\frac{x}{5}) sin (\frac{2 x}{15})

- 2 sin (\frac{2 x}{15}) sin (\frac{x}{5}) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

sin (\frac{2 x}{15}) = 0 or sin (\frac{x}{5}) = 0

sin (\frac{2 x}{15}) = 0 : x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

sin (\frac{2 x}{15}) = 0

Soluzioni generali per

sin (\frac{2 x}{15}) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn, \frac{2 x}{15} = π + 2 πn

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn, \frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Risolvi

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn : x = 15 πn

\frac{2 x}{15} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{2 x}{15} = 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

15

\frac{2 x}{15} = 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

15

\frac{15 \cdot 2 x}{15} = 15 \cdot 2 πn

Semplificare

2 x = 30 πn

2 x = 30 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = 30 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{30 πn}{2}

Semplificare

x = 15 πn

x = 15 πn

Risolvi

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn : x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

15

\frac{2 x}{15} = π + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

15

\frac{15 \cdot 2 x}{15} = 15 π + 15 \cdot 2 πn

Semplificare

2 x = 15 π + 30 πn

2 x = 15 π + 30 πn

Dividere entrambi i lati per

2

2 x = 15 π + 30 πn

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 x}{2} = \frac{15 π}{2} + \frac{30 πn}{2}

Semplificare

x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn

sin (\frac{x}{5}) = 0 : x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

sin (\frac{x}{5}) = 0

Soluzioni generali per

sin (\frac{x}{5}) = 0

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn, \frac{x}{5} = π + 2 πn

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn, \frac{x}{5} = π + 2 πn

Risolvi

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn : x = 10 πn

\frac{x}{5} = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

\frac{x}{5} = 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

5

\frac{x}{5} = 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

5

\frac{5 x}{5} = 5 \cdot 2 πn

Semplificare

x = 10 πn

x = 10 πn

Risolvi

\frac{x}{5} = π + 2 πn : x = 5 π + 10 πn

\frac{x}{5} = π + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

5

\frac{x}{5} = π + 2 πn

Moltiplica entrambi i lati per

5

\frac{5 x}{5} = 5 π + 5 \cdot 2 πn

Semplificare

x = 5 π + 10 πn

x = 5 π + 10 πn

x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = 15 πn, x = \frac{15 π}{2} + 15 πn, x = 10 πn, x = 5 π + 10 πn

Grafico

Esempi popolari

arctan(x)=3

arctan (x) = 3

tan(x)cos(x)=cos(x)

tan (x) cos (x) = cos (x)

4cos^2(θ)-2=-1

4 cos^{2} (θ) - 2 = - 1

sinh(x)= 7/24 ,cosh(x)

sinh (x) = \frac{7}{24}, cosh (x)

2sin(x)+sin(2x)=cos(x)+1

2 sin (x) + sin (2 x) = cos (x) + 1