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Beliebt Trigonometrie >

cos(2θ)+3cos(θ)=4

Lösung

cos (2 θ) + 3 cos (θ) = 4

Lösung

θ = 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 θ) + 3 cos (θ) = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

cos (2 θ) + 3 cos (θ) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + cos (2 θ) + 3 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 4 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ)

Vereinfache

- 4 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ) : 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 5

- 4 + 2 cos^{2} (θ) - 1 + 3 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 4 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 4 - 1 = - 5

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 5

= 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 5

- 5 + 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 5 + 2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 5 + 2 u^{2} + 3 u = 0

- 5 + 2 u^{2} + 3 u = 0 : u = 1, u = - \frac{5}{2}

- 5 + 2 u^{2} + 3 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 3 u - 5 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 3 u - 5 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 3, c = - 5

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 5 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 3 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 5 )}{2 \cdot 2}

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 5) = 7

3^{2} - 4 \cdot 2 (- 5)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 5

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 5 = 40

= 3^{2} + 40

3^{2} = 9

= 9 + 40

Addiere die Zahlen:

9 + 40 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 3 \pm 7}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 3 + 7}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 3 - 7}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 3 + 7}{2 \cdot 2} : 1

\frac{- 3 + 7}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 3 + 7 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- 3 - 7}{2 \cdot 2} : - \frac{5}{2}

\frac{- 3 - 7}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 3 - 7 = - 10

= \frac{- 10}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 10}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{10}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{5}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{5}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1, cos (θ) = - \frac{5}{2}

cos (θ) = 1, cos (θ) = - \frac{5}{2}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = - \frac{5}{2} :

Keine Lösung

cos (θ) = - \frac{5}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

0=2cos(x)-3sin(x)

0 = 2 cos (x) - 3 sin (x)

-cos(x)-sin(x)=0

- cos (x) - sin (x) = 0

sin(x)=-1/6

sin (x) = - \frac{1}{6}

sin(θ)= 8/14

sin (θ) = \frac{8}{14}

sin(θ)= 8/10

sin (θ) = \frac{8}{10}