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Popolare Trigonometria >

(2tan(3x))/(1-tan^2(3x))=1

Soluzione

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Soluzione

x = - \frac{1.17809 \dots}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{0.39269 \dots}{3} + \frac{πn}{3}

Gradi

x = - 22. 5^{\circ} + 6 0^{\circ} n, x = 7. 5^{\circ} + 6 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Risolvi per sostituzione

\frac{2 tan ( 3 x )}{1 - tan ^{2} ( 3 x )} = 1

Sia:

tan (3 x) = u

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1 : u = - 1 - 2, u = 2 - 1

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

1 - u^{2}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} = 1

Moltiplica entrambi i lati per

1 - u^{2}

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 1 \cdot (1 - u^{2})

Semplificare

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) = 1 \cdot (1 - u^{2})

Semplificare

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2}) : 2 u

\frac{2 u}{1 - u ^{2}} (1 - u^{2})

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u ( 1 - u ^{2} )}{1 - u ^{2}}

Cancella il fattore comune:

1 - u^{2}

= 2 u

Semplificare

1 \cdot (1 - u^{2}) : 1 - u^{2}

1 \cdot (1 - u^{2})

Moltiplicare:

1 \cdot (1 - u^{2}) = (1 - u^{2})

= (1 - u^{2})

Rimuovi le parentesi:

(a) = a

= 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

2 u = 1 - u^{2}

Risolvi

2 u = 1 - u^{2} : u = - 1 - 2, u = 2 - 1

2 u = 1 - u^{2}

Scambia i lati

1 - u^{2} = 2 u

Spostare

2 u

a sinistra dell'equazione

1 - u^{2} = 2 u

Sottrarre

2 u

da entrambi i lati

1 - u^{2} - 2 u = 2 u - 2 u

Semplificare

1 - u^{2} - 2 u = 0

1 - u^{2} - 2 u = 0

Scrivi in forma standard

a x^{2} + b x + c = 0

- u^{2} - 2 u + 1 = 0

Risolvi con la formula quadratica

- u^{2} - 2 u + 1 = 0

Formula dell'equazione quadratica:

Per

a = - 1, b = - 2, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 ( - 1 ) \cdot 1}{2 ( - 1 )}

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1 = 22

(- 2)^{2} - 4 (- 1) \cdot 1

Applicare la regola

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 1 \cdot 1

Moltiplica i numeri:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 2^{2} + 4

2^{2} = 4

= 4 + 4

Aggiungi i numeri:

4 + 4 = 8

= 8

Fattorizzazione prima di

8 : 2^{3}

8

8

diviso per

28 = 4 \cdot 2

= 2 \cdot 4

4

diviso per

24 = 2 \cdot 2

= 2 \cdot 2 \cdot 2

2

è un numero primo, quindi non è possibile ulteriore fattorizzazione

= 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{3}

= 2^{3}

Applica la regola degli esponenti:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{2} \cdot 2

Applicare la regola della radice:

n ab = n a n b

= 2 2^{2}

Applicare la regola della radice:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 22

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 2 2}{2 ( - 1 )}

Separare le soluzioni

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

u = \frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )} : - 1 - 2

\frac{- ( - 2 ) + 2 2}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 + 2 2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 + 2 2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2 + 2 2}{2}

Cancellare

\frac{2 + 2 2}{2} : 1 + 2

\frac{2 + 2 2}{2}

Fattorizza

2 + 22 : 2 (1 + 2)

2 + 22

Riscrivi come

= 2 \cdot 1 + 22

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (1 + 2)

= \frac{2 ( 1 + 2 )}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= 1 + 2

= - (1 + 2)

Distribuire le parentesi

= - (1) - (2)

Applicare le regole di sottrazione-addizione

+ (- a) = - a

= - 1 - 2

u = \frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )} : 2 - 1

\frac{- ( - 2 ) - 2 2}{2 ( - 1 )}

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{2 - 2 2}{- 2 \cdot 1}

Moltiplica i numeri:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{2 - 2 2}{- 2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

2 - 22 = - (22 - 2)

= \frac{2 2 - 2}{2}

Fattorizza

22 - 2 : 2 (2 - 1)

22 - 2

Riscrivi come

= 22 - 2 \cdot 1

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (2 - 1)

= \frac{2 ( 2 - 1 )}{2}

Dividi i numeri:

\frac{2}{2} = 1

= 2 - 1

Le soluzioni dell'equazione quadratica sono:

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

Verificare le soluzioni

Trova i punti non-definiti (singolarità):

u = 1, u = - 1

Prendere il denominatore (i) dell'

\frac{2 u}{1 - u ^{2}}

e confrontare con zero

Risolvi

1 - u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

1 - u^{2} = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 - u^{2} = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 - u^{2} - 1 = 0 - 1

Semplificare

- u^{2} = - 1

- u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

- u^{2} = - 1

Dividere entrambi i lati per

- 1

\frac{- u ^{2}}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}

Semplificare

u^{2} = 1

u^{2} = 1

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

Applicare la regola della radice:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

I seguenti punti sono non definiti

u = 1, u = - 1

Combinare punti non definiti con soluzioni:

u = - 1 - 2, u = 2 - 1

Sostituire indietro

u = tan (3 x)

tan (3 x) = - 1 - 2, tan (3 x) = 2 - 1

tan (3 x) = - 1 - 2, tan (3 x) = 2 - 1

tan (3 x) = - 1 - 2 : x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = - 1 - 2

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

tan (3 x) = - 1 - 2

Soluzioni generali per

tan (3 x) = - 1 - 2

tan (x) = - a \Rightarrow x = arctan (- a) + πn

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

Risolvi

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn : x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

3 x = arctan (- 1 - 2) + πn

Semplificare

arctan (- 1 - 2) + πn : - arctan (1 + 2) + πn

arctan (- 1 - 2) + πn

Usare la proprietà seguente:

arctan (- x) = - arctan (x)

arctan (- 1 - 2) = - arctan (1 + 2)

= - arctan (1 + 2) + πn

3 x = - arctan (1 + 2) + πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 x = - arctan (1 + 2) + πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 x}{3} = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

Semplificare

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = 2 - 1 : x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

tan (3 x) = 2 - 1

Applica le proprietà inverse delle funzioni trigonometriche

tan (3 x) = 2 - 1

Soluzioni generali per

tan (3 x) = 2 - 1

tan (x) = a \Rightarrow x = arctan (a) + πn

3 x = arctan (2 - 1) + πn

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Risolvi

3 x = arctan (2 - 1) + πn : x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Dividere entrambi i lati per

3

3 x = arctan (2 - 1) + πn

Dividere entrambi i lati per

3

\frac{3 x}{3} = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Semplificare

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Combinare tutte le soluzioni

x = - \frac{arctan ( 1 + 2 )}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{arctan ( 2 - 1 )}{3} + \frac{πn}{3}

Mostra le soluzioni in forma decimale

x = - \frac{1.17809 \dots}{3} + \frac{πn}{3}, x = \frac{0.39269 \dots}{3} + \frac{πn}{3}

Grafico

Esempi popolari

sin(x)=(sqrt(3))/3

sin (x) = \frac{3}{3}

cos(2θ)=-1/2 ,0<= θ<2pi

cos (2 θ) = - \frac{1}{2}, 0 \leq θ < 2 π

tan(x)tan(2x)=1

tan (x) tan (2 x) = 1

2sin^2(x)+7sin(x)=4

2 sin^{2} (x) + 7 sin (x) = 4

2sqrt(2)cos(θ)+4=6

22 cos (θ) + 4 = 6