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Beliebt Trigonometrie >

2cos(2θ)=6cos(θ)-4

Lösung

2 cos (2 θ) = 6 cos (θ) - 4

Lösung

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (2 θ) = 6 cos (θ) - 4

Subtrahiere

6 cos (θ) - 4

von beiden Seiten

2 cos (2 θ) - 6 cos (θ) + 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

4 + 2 cos (2 θ) - 6 cos (θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= 4 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 6 cos (θ)

Vereinfache

4 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 6 cos (θ) : 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 2

4 + 2 (2 cos^{2} (θ) - 1) - 6 cos (θ)

Multipliziere aus

2 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 4 cos^{2} (θ) - 2

2 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

Vereinfache

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1 : 4 cos^{2} (θ) - 2

2 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= 4 cos^{2} (θ) - 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 4 cos^{2} (θ) - 2

= 4 cos^{2} (θ) - 2

= 4 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 6 cos (θ)

Vereinfache

4 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 6 cos (θ) : 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 2

4 + 4 cos^{2} (θ) - 2 - 6 cos (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 4 - 2

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

4 - 2 = 2

= 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 2

= 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 2

= 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) + 2

2 + 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) = 0

Löse mit Substitution

2 + 4 cos^{2} (θ) - 6 cos (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

2 + 4 u^{2} - 6 u = 0

2 + 4 u^{2} - 6 u = 0 : u = 1, u = \frac{1}{2}

2 + 4 u^{2} - 6 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 6 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 6 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 6, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm ( - 6 ) ^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2}{2 \cdot 4}

(- 6)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2 = 2

(- 6)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 6)^{2} = 6^{2}

= 6^{2} - 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 6^{2} - 32

6^{2} = 36

= 36 - 32

Subtrahiere die Zahlen:

36 - 32 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 6 ) \pm 2}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 6 ) + 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 6 ) - 2}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 6 ) + 2}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 6 ) + 2}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 + 2}{2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

6 + 2 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 6 ) - 2}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 6 ) - 2}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{6 - 2}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

6 - 2 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = 1, cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (θ) = 1 : θ = 2 πn

cos (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = 0 + 2 πn

θ = 0 + 2 πn

Löse

θ = 0 + 2 πn : θ = 2 πn

θ = 0 + 2 πn

0 + 2 πn = 2 πn

θ = 2 πn

θ = 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = 2 πn, θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

5sin(θ)-4=2sin(θ)-6

5 sin (θ) - 4 = 2 sin (θ) - 6

cos(2θ)-cos(4θ)=0

cos (2 θ) - cos (4 θ) = 0

tan(x)=1.4

tan (x) = 1.4

sin(θ)=0.71

sin (θ) = 0.71

2tan^2(x)-3tan(x)+1=0

2 tan^{2} (x) - 3 tan (x) + 1 = 0