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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)-cos(x)=1

Lösung

cos (2 x) - cos (x) = 1

Lösung

x = 2.46670 \dots + 2 πn, x = - 2.46670 \dots + 2 πn

Grad

x = 141.33171 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 141.33171 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) - cos (x) = 1

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

cos (2 x) - cos (x) - 1 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 1 + cos (2 x) - cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - cos (x)

Vereinfache

- 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - cos (x) : 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 2

- 1 + 2 cos^{2} (x) - 1 - cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 1 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 1 - 1 = - 2

= 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 2

= 2 cos^{2} (x) - cos (x) - 2

- 2 - cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - cos (x) + 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 2 - u + 2 u^{2} = 0

- 2 - u + 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1 + 17}{4}, u = \frac{1 - 17}{4}

- 2 - u + 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} - u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} - u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = - 1, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 2 )}{2 \cdot 2}

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2) = 17

(- 1)^{2} - 4 \cdot 2 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 16

= 1 + 16

Addiere die Zahlen:

1 + 16 = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 17}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 17}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 17}{2 \cdot 2}

u = \frac{- ( - 1 ) + 17}{2 \cdot 2} : \frac{1 + 17}{4}

\frac{- ( - 1 ) + 17}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 + 17}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 + 17}{4}

u = \frac{- ( - 1 ) - 17}{2 \cdot 2} : \frac{1 - 17}{4}

\frac{- ( - 1 ) - 17}{2 \cdot 2}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{1 - 17}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{1 - 17}{4}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 17}{4}, u = \frac{1 - 17}{4}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 17}{4}, cos (x) = \frac{1 - 17}{4}

cos (x) = \frac{1 + 17}{4}, cos (x) = \frac{1 - 17}{4}

cos (x) = \frac{1 + 17}{4} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 17}{4}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1 - 17}{4} : x = arccos (\frac{1 - 17}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 17}{4}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 17}{4}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 17}{4}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 17}{4}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 17}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 17}{4}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 17}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 17}{4}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 - 17}{4}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 17}{4}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 2.46670 \dots + 2 πn, x = - 2.46670 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

1-cot(x)=csc(x)

1 - cot (x) = csc (x)

2csc^2(x)=cot(x)

2 csc^{2} (x) = cot (x)

6sin(x)cos(x)+3sin(x)-2cos(x)-1=0

6 sin (x) cos (x) + 3 sin (x) - 2 cos (x) - 1 = 0

acos(x)+bsin(x)=0

a cos (x) + b sin (x) = 0

cot(x)= 7/4 ,sin(x)<0

cot (x) = \frac{7}{4}, sin (x) < 0