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Beliebt Trigonometrie >

cos(2x)+5cos(x)=2

Lösung

cos (2 x) + 5 cos (x) = 2

Lösung

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

cos (2 x) + 5 cos (x) = 2

Subtrahiere

2

von beiden Seiten

cos (2 x) + 5 cos (x) - 2 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 2 + cos (2 x) + 5 cos (x)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 5 cos (x)

Vereinfache

- 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 5 cos (x) : 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 3

- 2 + 2 cos^{2} (x) - 1 + 5 cos (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 2 - 1

Subtrahiere die Zahlen:

- 2 - 1 = - 3

= 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 3

= 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x) - 3

- 3 + 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x) = 0

Löse mit Substitution

- 3 + 2 cos^{2} (x) + 5 cos (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

- 3 + 2 u^{2} + 5 u = 0

- 3 + 2 u^{2} + 5 u = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 3

- 3 + 2 u^{2} + 5 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

2 u^{2} + 5 u - 3 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

2 u^{2} + 5 u - 3 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 2, b = 5, c = - 3

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 5 ^{2} - 4 \cdot 2 ( - 3 )}{2 \cdot 2}

5^{2} - 4 \cdot 2 (- 3) = 7

5^{2} - 4 \cdot 2 (- 3)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 5^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 3

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 3 = 24

= 5^{2} + 24

5^{2} = 25

= 25 + 24

Addiere die Zahlen:

25 + 24 = 49

= 49

Faktorisiere die Zahl:

49 = 7^{2}

= 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

7^{2} = 7

= 7

u_{1, 2} = \frac{- 5 \pm 7}{2 \cdot 2}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 2}, u_{2} = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 2}

u = \frac{- 5 + 7}{2 \cdot 2} : \frac{1}{2}

\frac{- 5 + 7}{2 \cdot 2}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 5 + 7 = 2

= \frac{2}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 5 - 7}{2 \cdot 2} : - 3

\frac{- 5 - 7}{2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

- 5 - 7 = - 12

= \frac{- 12}{2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 12}{4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{12}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{12}{4} = 3

= - 3

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - 3

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - 3

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - 3

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - 3 :

Keine Lösung

cos (x) = - 3

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(5x)=1

cos (5 x) = 1

cos(θ)=0.52

cos (θ) = 0.52

2=sin(x)

2 = sin (x)

cosh(z)=2

cosh (z) = 2

2sin(x)=2cos(x)

2 sin (x) = 2 cos (x)