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Beliebt Trigonometrie >

2cos(θ)-2sec(θ)-3=0

Lösung

2 cos (θ) - 2 sec (θ) - 3 = 0

Lösung

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 12 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 24 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

2 cos (θ) - 2 sec (θ) - 3 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 3 + 2 cos (θ) - 2 sec (θ)

Verwende die grundlegende trigonometrische Identität:

cos (x) = \frac{1}{sec ( x )}

= - 3 + 2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )} - 2 sec (θ)

2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )} = \frac{2}{sec ( θ )}

2 \cdot \frac{1}{sec ( θ )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{sec ( θ )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{sec ( θ )}

= - 3 + \frac{2}{sec ( θ )} - 2 sec (θ)

- 3 + \frac{2}{sec ( θ )} - 2 sec (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 3 + \frac{2}{sec ( θ )} - 2 sec (θ) = 0

Angenommen:

sec (θ) = u

- 3 + \frac{2}{u} - 2 u = 0

- 3 + \frac{2}{u} - 2 u = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{2}

- 3 + \frac{2}{u} - 2 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 3 + \frac{2}{u} - 2 u = 0

Multipliziere beide Seiten mit

u

- 3 u + \frac{2}{u} u - 2 uu = 0 \cdot u

Vereinfache

- 3 u + \frac{2}{u} u - 2 uu = 0 \cdot u

Vereinfache

\frac{2}{u} u : 2

\frac{2}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{2 u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 2

Vereinfache

- 2 uu : - 2 u^{2}

- 2 uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= - 2 u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= - 2 u^{2}

Vereinfache

0 \cdot u : 0

0 \cdot u

Wende Regel an

0 \cdot a = 0

= 0

- 3 u + 2 - 2 u^{2} = 0

- 3 u + 2 - 2 u^{2} = 0

- 3 u + 2 - 2 u^{2} = 0

Löse

- 3 u + 2 - 2 u^{2} = 0 : u = - 2, u = \frac{1}{2}

- 3 u + 2 - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - 3 u + 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 3, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm ( - 3 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 2}{2 ( - 2 )}

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2 = 5

(- 3)^{2} - 4 (- 2) \cdot 2

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 3)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 3)^{2} = 3^{2}

= 3^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 2 = 16

= 3^{2} + 16

3^{2} = 9

= 9 + 16

Addiere die Zahlen:

9 + 16 = 25

= 25

Faktorisiere die Zahl:

25 = 5^{2}

= 5^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

5^{2} = 5

= 5

u_{1, 2} = \frac{- ( - 3 ) \pm 5}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 3 ) + 5}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 + 5}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

3 + 5 = 8

= \frac{8}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{8}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 3 ) - 5}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{3 - 5}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

3 - 5 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 2, u = \frac{1}{2}

u = - 2, u = \frac{1}{2}

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

- 3 + \frac{2}{u} - 2 u

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = - 2, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = sec (θ)

ein

sec (θ) = - 2, sec (θ) = \frac{1}{2}

sec (θ) = - 2, sec (θ) = \frac{1}{2}

sec (θ) = - 2 : θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = - 2

Allgemeine Lösung für

sec (θ) = - 2

sec (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sec (x) 1 \frac{2 3}{3} 22 Undefined - 2 - 2 - \frac{2 3}{3} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sec (x) - 1 - \frac{2 3}{3} - 2 - 2 Undefined 22 \frac{2 3}{3}

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

sec (θ) = \frac{1}{2} :

Keine Lösung

sec (θ) = \frac{1}{2}

sec (x) \leq - 1 or sec (x) \geq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{2 π}{3} + 2 πn, θ = \frac{4 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

2sin^2(x)-3cos(x)=0

2 sin^{2} (x) - 3 cos (x) = 0

sin(θ)= 2/9

sin (θ) = \frac{2}{9}

-2sin^2(θ)+9sin(θ)=8sin(θ)-1

- 2 sin^{2} (θ) + 9 sin (θ) = 8 sin (θ) - 1

sin^2(x)-sin(x)-1=0

sin^{2} (x) - sin (x) - 1 = 0

2sec(x)-4=0

2 sec (x) - 4 = 0