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Beliebt Trigonometrie >

cosh(x)=4

Lösung

cosh (x) = 4

Lösung

x = ln (4 + 15), x = ln (4 - 15)

Grad

x = 118.22623 \dots^{\circ}, x = - 118.22623 \dots^{\circ}

Schritte zur Lösung

cosh (x) = 4

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

cosh (x) = 4

Hyperbolische Identität anwenden:

cosh (x) = \frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 4

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 4

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 4 : x = ln (4 + 15), x = ln (4 - 15)

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} = 4

Multipliziere beide Seiten mit

2

\frac{e ^{x} + e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2

Vereinfache

e^{x} + e^{- x} = 8

Wende Exponentenregel an

e^{x} + e^{- x} = 8

Wende Exponentenregel an:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

e^{x} + (e^{x})^{- 1} = 8

e^{x} + (e^{x})^{- 1} = 8

Schreibe die Gleichung um mit

e^{x} = u

u + (u)^{- 1} = 8

Löse

u + u^{- 1} = 8 : u = 4 + 15, u = 4 - 15

u + u^{- 1} = 8

Fasse zusammen

u + \frac{1}{u} = 8

Multipliziere beide Seiten mit

u

u + \frac{1}{u} = 8

Multipliziere beide Seiten mit

u

uu + \frac{1}{u} u = 8 u

Vereinfache

uu + \frac{1}{u} u = 8 u

Vereinfache

uu : u^{2}

uu

Wende Exponentenregel an:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

uu = u^{1 + 1}

= u^{1 + 1}

Addiere die Zahlen:

1 + 1 = 2

= u^{2}

Vereinfache

\frac{1}{u} u : 1

\frac{1}{u} u

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot u}{u}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

u

= 1

u^{2} + 1 = 8 u

u^{2} + 1 = 8 u

u^{2} + 1 = 8 u

Löse

u^{2} + 1 = 8 u : u = 4 + 15, u = 4 - 15

u^{2} + 1 = 8 u

Verschiebe

8 u

auf die linke Seite

u^{2} + 1 = 8 u

Subtrahiere

8 u

von beiden Seiten

u^{2} + 1 - 8 u = 8 u - 8 u

Vereinfache

u^{2} + 1 - 8 u = 0

u^{2} + 1 - 8 u = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

u^{2} - 8 u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

u^{2} - 8 u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 1, b = - 8, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm ( - 8 ) ^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1}{2 \cdot 1}

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 215

(- 8)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 8)^{2} = 8^{2}

= 8^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 1 \cdot 1 = 4

= 8^{2} - 4

8^{2} = 64

= 64 - 4

Subtrahiere die Zahlen:

64 - 4 = 60

= 60

Primfaktorzerlegung von

60 : 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

60

60

ist durch

260 = 30 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 30

30

ist durch

230 = 15 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 15

15

ist durch

315 = 5 \cdot 3

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

2, 3, 5

sind alles Primzahlen, deshalb ist keine weitere Zerlegung möglich

= 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

= 2^{2} \cdot 3 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2^{2} 3 \cdot 5

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2 3 \cdot 5

Fasse zusammen

= 215

u_{1, 2} = \frac{- ( - 8 ) \pm 2 15}{2 \cdot 1}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 8 ) + 2 15}{2 \cdot 1}, u_{2} = \frac{- ( - 8 ) - 2 15}{2 \cdot 1}

u = \frac{- ( - 8 ) + 2 15}{2 \cdot 1} : 4 + 15

\frac{- ( - 8 ) + 2 15}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 + 2 15}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8 + 2 15}{2}

Faktorisiere

8 + 215 : 2 (4 + 15)

8 + 215

Schreibe um

= 2 \cdot 4 + 215

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (4 + 15)

= \frac{2 ( 4 + 15 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 4 + 15

u = \frac{- ( - 8 ) - 2 15}{2 \cdot 1} : 4 - 15

\frac{- ( - 8 ) - 2 15}{2 \cdot 1}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{8 - 2 15}{2 \cdot 1}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= \frac{8 - 2 15}{2}

Faktorisiere

8 - 215 : 2 (4 - 15)

8 - 215

Schreibe um

= 2 \cdot 4 - 215

Klammere gleiche Terme aus

2

= 2 (4 - 15)

= \frac{2 ( 4 - 15 )}{2}

Teile die Zahlen:

\frac{2}{2} = 1

= 4 - 15

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 4 + 15, u = 4 - 15

u = 4 + 15, u = 4 - 15

Überprüfe die Lösungen

Bestimme unbestimmte (Singularitäts-)Punkte:

u = 0

Nimm den/die Nenner von

u + u^{- 1}

und vergleiche mit Null

u = 0

Die folgenden Punkte sind unbestimmt

u = 0

Kombine die undefinierten Punkte mit den Lösungen:

u = 4 + 15, u = 4 - 15

u = 4 + 15, u = 4 - 15

Setze

u = e^{x} w i e d er e in,

löse für

x

Löse

e^{x} = 4 + 15 : x = ln (4 + 15)

e^{x} = 4 + 15

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 4 + 15

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (4 + 15)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (4 + 15)

x = ln (4 + 15)

Löse

e^{x} = 4 - 15 : x = ln (4 - 15)

e^{x} = 4 - 15

Wende Exponentenregel an

e^{x} = 4 - 15

Wenn

f (x) = g (x)

, dann

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (4 - 15)

Wende die log Regel an:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (4 - 15)

x = ln (4 - 15)

x = ln (4 + 15), x = ln (4 - 15)

x = ln (4 + 15), x = ln (4 - 15)

Graph

Beliebte Beispiele

2cos^2(θ)+3cos(θ)-2=0

2 cos^{2} (θ) + 3 cos (θ) - 2 = 0

12(1-cos(θ))=sin^2(θ)

12 (1 - cos (θ)) = sin^{2} (θ)

sin(1/6 x)=0

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2sin(x-pi/6)=cos(x-pi/3)

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