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Beliebt Trigonometrie >

9cos^2(θ)-24sin(θ)-10=-8sin(θ)+6

Lösung

9 cos^{2} (θ) - 24 sin (θ) - 10 = - 8 sin (θ) + 6

Lösung

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = - 0.89112 \dots + 2 πn, θ = π + 0.89112 \dots + 2 πn

Grad

θ = 27 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = - 51.05755 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 231.05755 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

9 cos^{2} (θ) - 24 sin (θ) - 10 = - 8 sin (θ) + 6

Subtrahiere

- 8 sin (θ) + 6

von beiden Seiten

9 cos^{2} (θ) - 16 sin (θ) - 16 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 16 - 16 sin (θ) + 9 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 16 - 16 sin (θ) + 9 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

- 16 - 16 sin (θ) + 9 (1 - sin^{2} (θ)) : - 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) - 7

- 16 - 16 sin (θ) + 9 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

9 (1 - sin^{2} (θ)) : 9 - 9 sin^{2} (θ)

9 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 9, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= 9 \cdot 1 - 9 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

9 \cdot 1 = 9

= 9 - 9 sin^{2} (θ)

= - 16 - 16 sin (θ) + 9 - 9 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 16 - 16 sin (θ) + 9 - 9 sin^{2} (θ) : - 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) - 7

- 16 - 16 sin (θ) + 9 - 9 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 16 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ) - 16 + 9

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 16 + 9 = - 7

= - 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) - 7

= - 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) - 7

= - 9 sin^{2} (θ) - 16 sin (θ) - 7

- 7 - 16 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 7 - 16 sin (θ) - 9 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 7 - 16 u - 9 u^{2} = 0

- 7 - 16 u - 9 u^{2} = 0 : u = - 1, u = - \frac{7}{9}

- 7 - 16 u - 9 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 9 u^{2} - 16 u - 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 9 u^{2} - 16 u - 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 9, b = - 16, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 9 ) ( - 7 )}{2 ( - 9 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm ( - 16 ) ^{2} - 4 ( - 9 ) ( - 7 )}{2 ( - 9 )}

(- 16)^{2} - 4 (- 9) (- 7) = 2

(- 16)^{2} - 4 (- 9) (- 7)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 16)^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 16)^{2} = 1 6^{2}

= 1 6^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 9 \cdot 7 = 252

= 1 6^{2} - 252

1 6^{2} = 256

= 256 - 252

Subtrahiere die Zahlen:

256 - 252 = 4

= 4

Faktorisiere die Zahl:

4 = 2^{2}

= 2^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

2^{2} = 2

= 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 16 ) \pm 2}{2 ( - 9 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 16 ) + 2}{2 ( - 9 )}, u_{2} = \frac{- ( - 16 ) - 2}{2 ( - 9 )}

u = \frac{- ( - 16 ) + 2}{2 ( - 9 )} : - 1

\frac{- ( - 16 ) + 2}{2 ( - 9 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 + 2}{- 2 \cdot 9}

Addiere die Zahlen:

16 + 2 = 18

= \frac{18}{- 2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{18}{- 18}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{18}{18}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 16 ) - 2}{2 ( - 9 )} : - \frac{7}{9}

\frac{- ( - 16 ) - 2}{2 ( - 9 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{16 - 2}{- 2 \cdot 9}

Subtrahiere die Zahlen:

16 - 2 = 14

= \frac{14}{- 2 \cdot 9}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 9 = 18

= \frac{14}{- 18}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{14}{18}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{7}{9}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = - \frac{7}{9}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = - 1, sin (θ) = - \frac{7}{9}

sin (θ) = - 1, sin (θ) = - \frac{7}{9}

sin (θ) = - 1 : θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{7}{9} : θ = arcsin (- \frac{7}{9}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{7}{9}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{7}{9}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{7}{9}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{7}{9}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{7}{9}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = arcsin (- \frac{7}{9}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{7}{9}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = \frac{3 π}{2} + 2 πn, θ = - 0.89112 \dots + 2 πn, θ = π + 0.89112 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(θ)=sin^2(θ)-1

cos^{2} (θ) = sin^{2} (θ) - 1

2cos(2θ)=-sqrt(3)

2 cos (2 θ) = - 3

10cos^2(x)+11cos(x)+3=0

10 cos^{2} (x) + 11 cos (x) + 3 = 0

4csc(x)-5=3

4 csc (x) - 5 = 3

sin(x)+1=2sin(x)

sin (x) + 1 = 2 sin (x)