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Beliebt Trigonometrie >

sin^2(x)-cos^2(x)-cos(x)=0

Lösung

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - cos (x) = 0

Lösung

x = π + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

x = 18 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

sin^{2} (x) - cos^{2} (x) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- cos (x) - cos^{2} (x) + sin^{2} (x)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (x) - cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Vereinfache

- cos (x) - cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x) : - cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

- cos (x) - cos^{2} (x) + 1 - cos^{2} (x)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - cos (x) - cos^{2} (x) - cos^{2} (x) + 1

Addiere gleiche Elemente:

- cos^{2} (x) - cos^{2} (x) = - 2 cos^{2} (x)

= - cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

= - cos (x) - 2 cos^{2} (x) + 1

1 - cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Löse mit Substitution

1 - cos (x) - 2 cos^{2} (x) = 0

Angenommen:

cos (x) = u

1 - u - 2 u^{2} = 0

1 - u - 2 u^{2} = 0 : u = - 1, u = \frac{1}{2}

1 - u - 2 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

- 2 u^{2} - u + 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = - 2, b = - 1, c = 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) \cdot 1}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 2) \cdot 1

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 4 \cdot 2 \cdot 1

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Wende Regel an

1^{a} = 1

= 1

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

4 \cdot 2 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 2 \cdot 1 = 8

= 8

= 1 + 8

Addiere die Zahlen:

1 + 8 = 9

= 9

Faktorisiere die Zahl:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - 1

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 \cdot 2}

Addiere die Zahlen:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{4}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{4}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= - 1

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{1}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Entferne die Klammern:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 \cdot 2}

Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 \cdot 2}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 2 = 4

= \frac{- 2}{- 4}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = - 1, u = \frac{1}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 1, cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Allgemeine Lösung für

cos (x) = - 1

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = π + 2 πn, x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

sec^2(θ)+sec(θ)-2=0

sec^{2} (θ) + sec (θ) - 2 = 0

sec^2(x)=8cos(x)

sec^{2} (x) = 8 cos (x)

20arcsin(x)=5pi

20 arcsin (x) = 5 π

sin(a)= 12/13

sin (a) = \frac{12}{13}

(tan(x)+1)(sec(x)-2)=0

(tan (x) + 1) (sec (x) - 2) = 0