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Popolare Trigonometria >

2sin(x)=sqrt(cos(2x)+2)

Soluzione

2 sin (x) = cos (2 x) + 2

Soluzione

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Gradi

x = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = 13 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 sin (x) = cos (2 x) + 2

Sottrarre

cos (2 x) + 2

da entrambi i lati

2 sin (x) - cos (2 x) + 2 = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

- 2 + cos (2 x) + 2 sin (x)

Usare l'Identità Doppio Angolo:

cos (2 x) = 1 - 2 sin^{2} (x)

= - 2 + 1 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x)

Semplificare

= - - 2 sin^{2} (x) + 3 + 2 sin (x)

- 3 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Risolvi per sostituzione

- 3 - 2 sin^{2} (x) + 2 sin (x) = 0

Sia:

sin (x) = u

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0 : u = \frac{1}{2}

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

Rimuovi radici quadrate

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

Sottrarre

2 u

da entrambi i lati

- 3 - 2 u^{2} + 2 u - 2 u = 0 - 2 u

Semplificare

- 3 - 2 u^{2} = - 2 u

Eleva entrambi i lati al quadrato:

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

(- 3 - 2 u^{2})^{2} = (- 2 u)^{2}

Espandere

(- 3 - 2 u^{2})^{2} : 3 - 2 u^{2}

(- 3 - 2 u^{2})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 3 - 2 u^{2})^{2} = (3 - 2 u^{2})^{2}

= (3 - 2 u^{2})^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((3 - 2 u^{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (3 - 2 u^{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 3 - 2 u^{2}

Espandere

(- 2 u)^{2} : 4 u^{2}

(- 2 u)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- 2 u)^{2} = (2 u)^{2}

= (2 u)^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a \cdot b)^{n} = a^{n} b^{n}

= 2^{2} u^{2}

2^{2} = 4

= 4 u^{2}

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

Risolvi

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2} : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

Spostare

3

a destra dell'equazione

3 - 2 u^{2} = 4 u^{2}

Sottrarre

3

da entrambi i lati

3 - 2 u^{2} - 3 = 4 u^{2} - 3

Semplificare

- 2 u^{2} = 4 u^{2} - 3

- 2 u^{2} = 4 u^{2} - 3

Spostare

4 u^{2}

a sinistra dell'equazione

- 2 u^{2} = 4 u^{2} - 3

Sottrarre

4 u^{2}

da entrambi i lati

- 2 u^{2} - 4 u^{2} = 4 u^{2} - 3 - 4 u^{2}

Semplificare

- 6 u^{2} = - 3

- 6 u^{2} = - 3

Dividere entrambi i lati per

- 6

- 6 u^{2} = - 3

Dividere entrambi i lati per

- 6

\frac{- 6 u ^{2}}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}

Semplificare

\frac{- 6 u ^{2}}{- 6} = \frac{- 3}{- 6}

Semplificare

\frac{- 6 u ^{2}}{- 6} : u^{2}

\frac{- 6 u ^{2}}{- 6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{6 u ^{2}}{6}

Dividi i numeri:

\frac{6}{6} = 1

= u^{2}

Semplificare

\frac{- 3}{- 6} : \frac{1}{2}

\frac{- 3}{- 6}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{3}{6}

Cancella il fattore comune:

3

= \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Per

x^{2} = f (a)

le soluzioni sono

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Verificare le soluzioni:

u = \frac{1}{2}

Vero

, u = - \frac{1}{2}

Falso

Verifica le soluzioni sostituendole in

- 3 - 2 u^{2} + 2 u = 0

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Inserire in

u = \frac{1}{2} :

Vero

- 3 - 2 (\frac{1}{2})^{2} + 2 \frac{1}{2} = 0

- 3 - 2 (\frac{1}{2})^{2} + 2 \frac{1}{2} = 0

- 3 - 2 (\frac{1}{2})^{2} + 2 \frac{1}{2}

3 - 2 (\frac{1}{2})^{2} = 2

3 - 2 (\frac{1}{2})^{2}

2 (\frac{1}{2})^{2} = 1

2 (\frac{1}{2})^{2}

(\frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(\frac{1}{2})^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= \frac{1}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 3 - 1

Sottrai i numeri:

3 - 1 = 2

= 2

2 \frac{1}{2} = 2

2 \frac{1}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a \frac{b}{a} = a^{2} \frac{b}{a}

2 \frac{1}{2} = 2^{2} \cdot \frac{1}{2}

= 2^{2} \cdot \frac{1}{2}

Moltiplicare

2^{2} \cdot \frac{1}{2} : 2

2^{2} \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 ^{2}}{2}

Moltiplicare:

1 \cdot 2^{2} = 2^{2}

= \frac{2 ^{2}}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 2

= 2

= - 2 + 2

Aggiungi elementi simili:

- 2 + 2 = 0

= 0

0 = 0

Vero

Inserire in

u = - \frac{1}{2} :

Falso

- 3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) = 0

- 3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} + 2 (- \frac{1}{2}) = - 22

- 3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} + 2 (- \frac{1}{2})

Rimuovi le parentesi:

(- a) = - a

= - 3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} - 2 \frac{1}{2}

3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2} = 2

3 - 2 (- \frac{1}{2})^{2}

2 (- \frac{1}{2})^{2} = 1

2 (- \frac{1}{2})^{2}

(- \frac{1}{2})^{2} = \frac{1}{2}

(- \frac{1}{2})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(- a)^{n} = a^{n},

n

è pari

(- \frac{1}{2})^{2} = (\frac{1}{2})^{2}

= (\frac{1}{2})^{2}

Applicare la regola della radice:

a = a^{\frac{1}{2}}

= ((\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}})^{2}

Applica la regola degli esponenti:

(a^{b})^{c} = a^{b c}

= (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2} \cdot 2}

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

\frac{1}{2} \cdot 2

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= \frac{1}{2}

= 2 \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 1

= 3 - 1

Sottrai i numeri:

3 - 1 = 2

= 2

2 \frac{1}{2} = 2

2 \frac{1}{2}

Applica la regola degli esponenti:

a \frac{b}{a} = a^{2} \frac{b}{a}

2 \frac{1}{2} = 2^{2} \cdot \frac{1}{2}

= 2^{2} \cdot \frac{1}{2}

Moltiplicare

2^{2} \cdot \frac{1}{2} : 2

2^{2} \cdot \frac{1}{2}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2 ^{2}}{2}

Moltiplicare:

1 \cdot 2^{2} = 2^{2}

= \frac{2 ^{2}}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= 2

= 2

= - 2 - 2

Aggiungi elementi simili:

- 2 - 2 = - 22

= - 22

- 22 = 0

Falso

La soluzione è

u = \frac{1}{2}

Sostituire indietro

u = sin (x)

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

sin (x) = \frac{1}{2}

Soluzioni generali per

sin (x) = \frac{1}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Combinare tutte le soluzioni

x = \frac{π}{4} + 2 πn, x = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Grafico

Esempi popolari

tan(x)= 7/12

tan (x) = \frac{7}{12}

cos(x)=sqrt(1-sin(x))

cos (x) = 1 - sin (x)

-sin(a)-1=3sin(a)+2

- sin (a) - 1 = 3 sin (a) + 2

tan(x)=7

tan (x) = 7

cot(x)(tan(x)-sqrt(3))=0

cot (x) (tan (x) - 3) = 0