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Beliebt Trigonometrie >

-5cos^2(θ)=12sin(θ)+4

Lösung

- 5 cos^{2} (θ) = 12 sin (θ) + 4

Lösung

θ = - 0.64350 \dots + 2 πn, θ = π + 0.64350 \dots + 2 πn

Grad

θ = - 36.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 216.86989 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

- 5 cos^{2} (θ) = 12 sin (θ) + 4

Subtrahiere

12 sin (θ) + 4

von beiden Seiten

- 5 cos^{2} (θ) - 12 sin (θ) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 - 12 sin (θ) - 5 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= - 4 - 12 sin (θ) - 5 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

- 4 - 12 sin (θ) - 5 (1 - sin^{2} (θ)) : 5 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) - 9

- 4 - 12 sin (θ) - 5 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 5 (1 - sin^{2} (θ)) : - 5 + 5 sin^{2} (θ)

- 5 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 5, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 5 \cdot 1 - (- 5) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 5 \cdot 1 + 5 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

5 \cdot 1 = 5

= - 5 + 5 sin^{2} (θ)

= - 4 - 12 sin (θ) - 5 + 5 sin^{2} (θ)

Vereinfache

- 4 - 12 sin (θ) - 5 + 5 sin^{2} (θ) : 5 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) - 9

- 4 - 12 sin (θ) - 5 + 5 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 12 sin (θ) + 5 sin^{2} (θ) - 4 - 5

Subtrahiere die Zahlen:

- 4 - 5 = - 9

= 5 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) - 9

= 5 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) - 9

= 5 sin^{2} (θ) - 12 sin (θ) - 9

- 9 - 12 sin (θ) + 5 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 9 - 12 sin (θ) + 5 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 9 - 12 u + 5 u^{2} = 0

- 9 - 12 u + 5 u^{2} = 0 : u = 3, u = - \frac{3}{5}

- 9 - 12 u + 5 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

5 u^{2} - 12 u - 9 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

5 u^{2} - 12 u - 9 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 5, b = - 12, c = - 9

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 9 )}{2 \cdot 5}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm ( - 12 ) ^{2} - 4 \cdot 5 ( - 9 )}{2 \cdot 5}

(- 12)^{2} - 4 \cdot 5 (- 9) = 18

(- 12)^{2} - 4 \cdot 5 (- 9)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 12)^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 9

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 12)^{2} = 1 2^{2}

= 1 2^{2} + 4 \cdot 5 \cdot 9

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 5 \cdot 9 = 180

= 1 2^{2} + 180

1 2^{2} = 144

= 144 + 180

Addiere die Zahlen:

144 + 180 = 324

= 324

Faktorisiere die Zahl:

324 = 1 8^{2}

= 1 8^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 8^{2} = 18

= 18

u_{1, 2} = \frac{- ( - 12 ) \pm 18}{2 \cdot 5}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 12 ) + 18}{2 \cdot 5}, u_{2} = \frac{- ( - 12 ) - 18}{2 \cdot 5}

u = \frac{- ( - 12 ) + 18}{2 \cdot 5} : 3

\frac{- ( - 12 ) + 18}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{12 + 18}{2 \cdot 5}

Addiere die Zahlen:

12 + 18 = 30

= \frac{30}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{30}{10}

Teile die Zahlen:

\frac{30}{10} = 3

= 3

u = \frac{- ( - 12 ) - 18}{2 \cdot 5} : - \frac{3}{5}

\frac{- ( - 12 ) - 18}{2 \cdot 5}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{12 - 18}{2 \cdot 5}

Subtrahiere die Zahlen:

12 - 18 = - 6

= \frac{- 6}{2 \cdot 5}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 5 = 10

= \frac{- 6}{10}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{6}{10}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= - \frac{3}{5}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 3, u = - \frac{3}{5}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 3, sin (θ) = - \frac{3}{5}

sin (θ) = 3, sin (θ) = - \frac{3}{5}

sin (θ) = 3 :

Keine Lösung

sin (θ) = 3

- 1 \leq sin (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

sin (θ) = - \frac{3}{5} : θ = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

sin (θ) = - \frac{3}{5}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

sin (θ) = - \frac{3}{5}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{3}{5}

sin (x) = - a \Rightarrow x = arcsin (- a) + 2 πn, x = π + arcsin (a) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

θ = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = arcsin (- \frac{3}{5}) + 2 πn, θ = π + arcsin (\frac{3}{5}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

θ = - 0.64350 \dots + 2 πn, θ = π + 0.64350 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos^2(t)-2sin(t)-1=0

cos^{2} (t) - 2 sin (t) - 1 = 0

cos(2x)+8sin^2(x)=4

cos (2 x) + 8 sin^{2} (x) = 4

3tan(θ)=sqrt(3)

3 tan (θ) = 3

100cos^2(x)-25=0

100 cos^{2} (x) - 25 = 0

cot(θ)=5

cot (θ) = 5