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Popular Trigonometria >

tan(θ)=(sqrt(2))/2 csc(θ)

Solução

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Solução

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Graus

θ = 4 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 31 5^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Passos da solução

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Subtrair

\frac{2}{2} csc (θ)

de ambos os lados

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2} = 0

Simplificar

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2} : \frac{2 tan ( θ ) - csc ( θ )}{2}

tan (θ) - \frac{csc ( θ )}{2}

Converter para fração:

tan (θ) = \frac{tan ( θ ) 2}{2}

= \frac{tan ( θ ) 2}{2} - \frac{csc ( θ )}{2}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{tan ( θ ) 2 - csc ( θ )}{2}

\frac{2 tan ( θ ) - csc ( θ )}{2} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 tan (θ) - csc (θ) = 0

Expresar com seno, cosseno

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} = 0

Simplificar

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )} : \frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

Multiplicar

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} : \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )}

2 \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )}

Multiplicar frações:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )}

= \frac{2 sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{1}{sin ( θ )}

Mínimo múltiplo comum de

cos (θ), sin (θ) : cos (θ) sin (θ)

cos (θ), sin (θ)

Mínimo múltiplo comum (MMC)

Calcular uma expressão que seja composta por fatores que estejam presentes tanto em

cos (θ)

quanto em

sin (θ)

= cos (θ) sin (θ)

Reescrever as frações baseando-se no mínimo múltiplo comum

Multiplicar cada numerador pelo mesmo valor necessário para multiplicar seu denominador correspondente para convertê-lo no mínimo múltiplo comum

Para

\frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

sin (θ)

\frac{sin ( θ ) 2}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) 2 sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Para

\frac{1}{sin ( θ )} :

multiplique o numerador e o denominador por

cos (θ)

\frac{1}{sin ( θ )} = \frac{1 \cdot cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

= \frac{2 sin ^{2} ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} - \frac{cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

Já que os denominadores são iguais, combinar as frações:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )}

\frac{2 sin ^{2} ( θ ) - cos ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

Adicionar

cos (θ)

a ambos os lados

2 sin^{2} (θ) = cos (θ)

Elevar ambos os lados ao quadrado

(2 sin^{2} (θ))^{2} = cos^{2} (θ)

Subtrair

cos^{2} (θ)

de ambos os lados

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ) = 0

Fatorar

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ) : (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Reescrever

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

como

(2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

2 sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Aplicar as propriedades dos radicais:

a = (a)^{2}

2 = (2)^{2}

= (2)^{2} sin^{4} (θ) - cos^{2} (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

sin^{4} (θ) = (sin^{2} (θ))^{2}

= (2)^{2} (sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Aplicar as propriedades dos expoentes:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

(2)^{2} (sin^{2} (θ))^{2} = (2 sin^{2} (θ))^{2}

= (2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

= (2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ)

Aplicar a regra da diferença de quadrados:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 sin^{2} (θ))^{2} - cos^{2} (θ) = (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

= (2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ))

(2 sin^{2} (θ) + cos (θ)) (2 sin^{2} (θ) - cos (θ)) = 0

Resolver cada parte separadamente

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0 or 2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0 : θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) + cos (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

cos (θ) + sin^{2} (θ) 2

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2

cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Usando o método de substituição

cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Sea:

cos (θ) = u

u + (1 - u^{2}) 2 = 0

u + (1 - u^{2}) 2 = 0 : u = - \frac{2}{2}, u = 2

u + (1 - u^{2}) 2 = 0

Expandir

u + (1 - u^{2}) 2 : u + 2 - 2 u^{2}

u + (1 - u^{2}) 2

= u + 2 (1 - u^{2})

Expandir

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

= 1 \cdot 2 - 2 u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= u + 2 - 2 u^{2}

u + 2 - 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} + u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 1 ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

1^{2} - 4 (- 2) 2 = 3

1^{2} - 4 (- 2) 2

Aplicar a regra

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 42 (- 2)

Aplicar a regra

- (- a) = a

= 1 + 422

422 = 8

422

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- 1 \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1 + 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 + 3}{- 2 2}

Somar/subtrair:

- 1 + 3 = 2

= \frac{2}{- 2 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{2}{2 2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= - \frac{1}{2}

Racionalizar

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

u = \frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )} : 2

\frac{- 1 - 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a

= \frac{- 1 - 3}{- 2 2}

Subtrair:

- 1 - 3 = - 4

= \frac{- 4}{- 2 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{4}{2 2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= 2

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - \frac{2}{2}, u = 2

Substituir na equação

u = cos (θ)

cos (θ) = - \frac{2}{2}, cos (θ) = 2

cos (θ) = - \frac{2}{2}, cos (θ) = 2

cos (θ) = - \frac{2}{2} : θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{2}{2}

Soluções gerais para

cos (θ) = - \frac{2}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = 2 :

Sem solução

cos (θ) = 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

Combinar toda as soluções

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0 : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 sin^{2} (θ) - cos (θ) = 0

Reeecreva usando identidades trigonométricas

- cos (θ) + sin^{2} (θ) 2

Utilizar a identidade trigonométrica pitagórica:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= - cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2

- cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Usando o método de substituição

- cos (θ) + (1 - cos^{2} (θ)) 2 = 0

Sea:

cos (θ) = u

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0 : u = - 2, u = \frac{2}{2}

- u + (1 - u^{2}) 2 = 0

Expandir

- u + (1 - u^{2}) 2 : - u + 2 - 2 u^{2}

- u + (1 - u^{2}) 2

= - u + 2 (1 - u^{2})

Expandir

2 (1 - u^{2}) : 2 - 2 u^{2}

2 (1 - u^{2})

Colocar os parênteses utilizando:

a (b - c) = ab - a c

a = 2, b = 1, c = u^{2}

= 2 \cdot 1 - 2 u^{2}

= 1 \cdot 2 - 2 u^{2}

Multiplicar:

1 \cdot 2 = 2

= 2 - 2 u^{2}

= - u + 2 - 2 u^{2}

- u + 2 - 2 u^{2} = 0

Escrever na forma padrão

a x^{2} + b x + c = 0

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Resolver com a fórmula quadrática

- 2 u^{2} - u + 2 = 0

Fórmula geral para equações de segundo grau:

Para

a = - 2, b = - 1, c = 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm ( - 1 ) ^{2} - 4 ( - 2 ) 2}{2 ( - 2 )}

(- 1)^{2} - 4 (- 2) 2 = 3

(- 1)^{2} - 4 (- 2) 2

Aplicar a regra

- (- a) = a

= (- 1)^{2} + 422

(- 1)^{2} = 1

(- 1)^{2}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

(- a)^{n} = a^{n},

n

é par

(- 1)^{2} = 1^{2}

= 1^{2}

Aplicar a regra

1^{a} = 1

= 1

422 = 8

422

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 4 \cdot 2

Multiplicar os números:

4 \cdot 2 = 8

= 8

= 1 + 8

Somar:

1 + 8 = 9

= 9

Fatorar o número:

9 = 3^{2}

= 3^{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a^{n} = a

3^{2} = 3

= 3

u_{1, 2} = \frac{- ( - 1 ) \pm 3}{2 ( - 2 )}

Separe as soluções

u_{1} = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}, u_{2} = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

u = \frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )} : - 2

\frac{- ( - 1 ) + 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 + 3}{- 2 2}

Somar:

1 + 3 = 4

= \frac{4}{- 2 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{a}{- b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{2 2}

Dividir:

\frac{4}{2} = 2

= \frac{2}{2}

Aplicar as propriedades dos radicais:

n a = a^{\frac{1}{n}}

2 = 2^{\frac{1}{2}}

= \frac{2}{2 ^{\frac{1}{2}}}

Aplicar as propriedades dos expoentes:

\frac{x ^{a}}{x ^{b}} = x^{a - b}

\frac{2 ^{1}}{2 ^{\frac{1}{2}}} = 2^{1 - \frac{1}{2}}

= 2^{1 - \frac{1}{2}}

Subtrair:

1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

= 2^{\frac{1}{2}}

Aplicar as propriedades dos radicais:

a^{\frac{1}{n}} = n a

2^{\frac{1}{2}} = 2

= - 2

u = \frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )} : \frac{2}{2}

\frac{- ( - 1 ) - 3}{2 ( - 2 )}

Remover os parênteses:

(- a) = - a, - (- a) = a

= \frac{1 - 3}{- 2 2}

Subtrair:

1 - 3 = - 2

= \frac{- 2}{- 2 2}

Aplicar as propriedades das frações:

\frac{- a}{- b} = \frac{a}{b}

= \frac{2}{2 2}

Dividir:

\frac{2}{2} = 1

= \frac{1}{2}

Racionalizar

\frac{1}{2} : \frac{2}{2}

\frac{1}{2}

Multiplicar pelo conjugado

\frac{2}{2}

= \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Aplicar as propriedades dos radicais:

a a = a

22 = 2

= 2

= \frac{2}{2}

= \frac{2}{2}

As soluções para a equação de segundo grau são:

u = - 2, u = \frac{2}{2}

Substituir na equação

u = cos (θ)

cos (θ) = - 2, cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = - 2, cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (θ) = - 2 :

Sem solução

cos (θ) = - 2

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Sem solu \overset{c}{\c} \tilde{a} o

cos (θ) = \frac{2}{2} : θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

cos (θ) = \frac{2}{2}

Soluções gerais para

cos (θ) = \frac{2}{2}

cos (x)

tabela de periodicidade com ciclo de

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Combinar toda as soluções

θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verificar as soluções inserindo-as na equação original

Verificar as soluções inserindo-as em

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

Eliminar aquelas que não estejam de acordo com a equação.

Verificar a solução

\frac{3 π}{4} + 2 πn :

Falso

\frac{3 π}{4} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{3 π}{4} + 2 π 1

Para

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

inserir

θ = \frac{3 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{3 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{3 π}{4} + 2 π 1)

Simplificar

- 1 = 1

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{5 π}{4} + 2 πn :

Falso

\frac{5 π}{4} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{5 π}{4} + 2 π 1

Para

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

inserir

θ = \frac{5 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{5 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{5 π}{4} + 2 π 1)

Simplificar

1 = - 1

\Rightarrow Falso

Verificar a solução

\frac{π}{4} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{π}{4} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{π}{4} + 2 π 1

Para

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

inserir

θ = \frac{π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{π}{4} + 2 π 1)

Simplificar

1 = 1

\Rightarrow Verdadeiro

Verificar a solução

\frac{7 π}{4} + 2 πn :

Verdadeiro

\frac{7 π}{4} + 2 πn

Inserir

n = 1

\frac{7 π}{4} + 2 π 1

Para

tan (θ) = \frac{2}{2} csc (θ)

inserir

θ = \frac{7 π}{4} + 2 π 1

tan (\frac{7 π}{4} + 2 π 1) = \frac{2}{2} csc (\frac{7 π}{4} + 2 π 1)

Simplificar

- 1 = - 1

\Rightarrow Verdadeiro

θ = \frac{π}{4} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Gráfico

Exemplos populares

2sin(x)cos(x)= 1/2

2 sin (x) cos (x) = \frac{1}{2}

tan(θ)=0.75

tan (θ) = 0.75

cos(6x)=1

cos (6 x) = 1

csc^2(θ)-2csc(θ)=0

csc^{2} (θ) - 2 csc (θ) = 0

cos(θ)=-7/25

cos (θ) = - \frac{7}{25}