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Beliebt Trigonometrie >

3cos(2θ)+9cos(θ)-4=-2cos(θ)

Lösung

3 cos (2 θ) + 9 cos (θ) - 4 = - 2 cos (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Grad

θ = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 30 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

3 cos (2 θ) + 9 cos (θ) - 4 = - 2 cos (θ)

Subtrahiere

- 2 cos (θ)

von beiden Seiten

3 cos (2 θ) + 11 cos (θ) - 4 = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

- 4 + 11 cos (θ) + 3 cos (2 θ)

Verwende die Doppelwinkelidentität:

cos (2 x) = 2 cos^{2} (x) - 1

= - 4 + 11 cos (θ) + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Vereinfache

- 4 + 11 cos (θ) + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 6 cos^{2} (θ) + 11 cos (θ) - 7

- 4 + 11 cos (θ) + 3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Multipliziere aus

3 (2 cos^{2} (θ) - 1) : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 (2 cos^{2} (θ) - 1)

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = 3, b = 2 cos^{2} (θ), c = 1

= 3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Vereinfache

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1 : 6 cos^{2} (θ) - 3

3 \cdot 2 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 2 = 6

= 6 cos^{2} (θ) - 3 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= 6 cos^{2} (θ) - 3

= - 4 + 11 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) - 3

Vereinfache

- 4 + 11 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) - 3 : 6 cos^{2} (θ) + 11 cos (θ) - 7

- 4 + 11 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) - 3

Fasse gleiche Terme zusammen

= 11 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) - 4 - 3

Subtrahiere die Zahlen:

- 4 - 3 = - 7

= 6 cos^{2} (θ) + 11 cos (θ) - 7

= 6 cos^{2} (θ) + 11 cos (θ) - 7

= 6 cos^{2} (θ) + 11 cos (θ) - 7

- 7 + 11 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 7 + 11 cos (θ) + 6 cos^{2} (θ) = 0

Angenommen:

cos (θ) = u

- 7 + 11 u + 6 u^{2} = 0

- 7 + 11 u + 6 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{7}{3}

- 7 + 11 u + 6 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

6 u^{2} + 11 u - 7 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

6 u^{2} + 11 u - 7 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 6, b = 11, c = - 7

u_{1, 2} = \frac{- 11 \pm 1 1 ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 7 )}{2 \cdot 6}

u_{1, 2} = \frac{- 11 \pm 1 1 ^{2} - 4 \cdot 6 ( - 7 )}{2 \cdot 6}

1 1^{2} - 4 \cdot 6 (- 7) = 17

1 1^{2} - 4 \cdot 6 (- 7)

Wende Regel an

- (- a) = a

= 1 1^{2} + 4 \cdot 6 \cdot 7

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 6 \cdot 7 = 168

= 1 1^{2} + 168

1 1^{2} = 121

= 121 + 168

Addiere die Zahlen:

121 + 168 = 289

= 289

Faktorisiere die Zahl:

289 = 1 7^{2}

= 1 7^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

1 7^{2} = 17

= 17

u_{1, 2} = \frac{- 11 \pm 17}{2 \cdot 6}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- 11 + 17}{2 \cdot 6}, u_{2} = \frac{- 11 - 17}{2 \cdot 6}

u = \frac{- 11 + 17}{2 \cdot 6} : \frac{1}{2}

\frac{- 11 + 17}{2 \cdot 6}

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

- 11 + 17 = 6

= \frac{6}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{6}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

6

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 11 - 17}{2 \cdot 6} : - \frac{7}{3}

\frac{- 11 - 17}{2 \cdot 6}

Subtrahiere die Zahlen:

- 11 - 17 = - 28

= \frac{- 28}{2 \cdot 6}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 6 = 12

= \frac{- 28}{12}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{28}{12}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{7}{3}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{7}{3}

Setze in

u = cos (θ)

ein

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - \frac{7}{3}

cos (θ) = \frac{1}{2}, cos (θ) = - \frac{7}{3}

cos (θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (θ) = \frac{1}{2}

cos (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (θ) = - \frac{7}{3} :

Keine Lösung

cos (θ) = - \frac{7}{3}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{3} + 2 πn, θ = \frac{5 π}{3} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

16cos^2(x)-12=0

16 cos^{2} (x) - 12 = 0

cos(2θ)-cos^2(θ)=0

cos (2 θ) - cos^{2} (θ) = 0

3tan^2(x)+5tan(x)-4=0

3 tan^{2} (x) + 5 tan (x) - 4 = 0

cos(2x)*2=0

cos (2 x) \cdot 2 = 0

csc^3(x)+csc^2(x)=4csc(x)+4

csc^{3} (x) + csc^{2} (x) = 4 csc (x) + 4