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Beliebt Trigonometrie >

1-sin(θ)=sqrt(3)cos(θ)

Lösung

1 - sin (θ) = 3 cos (θ)

Lösung

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Grad

θ = 9 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n, θ = 33 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

1 - sin (θ) = 3 cos (θ)

Quadriere beide Seiten

(1 - sin (θ))^{2} = (3 cos (θ))^{2}

Subtrahiere

(3 cos (θ))^{2}

von beiden Seiten

(1 - sin (θ))^{2} - 3 cos^{2} (θ) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

(1 - sin (θ))^{2} - 3 cos^{2} (θ)

Verwende die Pythagoreische Identität:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

cos^{2} (x) = 1 - sin^{2} (x)

= (1 - sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ))

Vereinfache

(1 - sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ)) : 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

(1 - sin (θ))^{2} - 3 (1 - sin^{2} (θ))

(1 - sin (θ))^{2} : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

Wende Formel für perfekte quadratische Gleichungen an:

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

a = 1, b = sin (θ)

= 1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

Vereinfache

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ) : 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

Wende Regel an

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 - 2 \cdot 1 \cdot sin (θ) + sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 1 = 2

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 (1 - sin^{2} (θ))

Multipliziere aus

- 3 (1 - sin^{2} (θ)) : - 3 + 3 sin^{2} (θ)

- 3 (1 - sin^{2} (θ))

Wende das Distributivgesetz an:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = sin^{2} (θ)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) sin^{2} (θ)

Wende Minus-Plus Regeln an

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 sin^{2} (θ)

Multipliziere die Zahlen:

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 sin^{2} (θ)

= 1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ)

Vereinfache

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ) : 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

1 - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) - 3 + 3 sin^{2} (θ)

Fasse gleiche Terme zusammen

= - 2 sin (θ) + sin^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) + 1 - 3

Addiere gleiche Elemente:

sin^{2} (θ) + 3 sin^{2} (θ) = 4 sin^{2} (θ)

= - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) + 1 - 3

Addiere/Subtrahiere die Zahlen:

1 - 3 = - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

= 4 sin^{2} (θ) - 2 sin (θ) - 2

- 2 - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

Löse mit Substitution

- 2 - 2 sin (θ) + 4 sin^{2} (θ) = 0

Angenommen:

sin (θ) = u

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = 1, u = - \frac{1}{2}

- 2 - 2 u + 4 u^{2} = 0

Schreibe in der Standard Form

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 2 u - 2 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm ( - 2 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

(- 2)^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 2)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 2)^{2} = 2^{2}

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Addiere die Zahlen:

4 + 32 = 36

= 36

Faktorisiere die Zahl:

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Wende Radikal Regel an:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- ( - 2 ) \pm 6}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4} : 1

\frac{- ( - 2 ) + 6}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 + 6}{2 \cdot 4}

Addiere die Zahlen:

2 + 6 = 8

= \frac{8}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{8}{8}

Wende Regel an

\frac{a}{a} = 1

= 1

u = \frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4} : - \frac{1}{2}

\frac{- ( - 2 ) - 6}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{2 - 6}{2 \cdot 4}

Subtrahiere die Zahlen:

2 - 6 = - 4

= \frac{- 4}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 4}{8}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{4}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= - \frac{1}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = 1, u = - \frac{1}{2}

Setze in

u = sin (θ)

ein

sin (θ) = 1, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 1, sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (θ) = 1 : θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = 1

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = 1

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

θ = \frac{π}{2} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

sin (θ) = - \frac{1}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{7 π}{6} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

1 - sin (θ) = 3 cos (θ)

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

\frac{π}{2} + 2 πn :

Wahr

\frac{π}{2} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{π}{2} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{π}{2} + 2 π 1

1 - sin (θ) = 3 cos (θ)

ein, um zu lösen

1 - sin (\frac{π}{2} + 2 π 1) = 3 cos (\frac{π}{2} + 2 π 1)

Fasse zusammen

0 = 0

\Rightarrow Wahr

Überprüfe die Lösung

\frac{7 π}{6} + 2 πn :

Falsch

\frac{7 π}{6} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{7 π}{6} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{7 π}{6} + 2 π 1

1 - sin (θ) = 3 cos (θ)

ein, um zu lösen

1 - sin (\frac{7 π}{6} + 2 π 1) = 3 cos (\frac{7 π}{6} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.5 = - 1.5

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

\frac{11 π}{6} + 2 πn :

Wahr

\frac{11 π}{6} + 2 πn

Setze ein

n = 1

\frac{11 π}{6} + 2 π 1

Setze

θ = \frac{11 π}{6} + 2 π 1

1 - sin (θ) = 3 cos (θ)

ein, um zu lösen

1 - sin (\frac{11 π}{6} + 2 π 1) = 3 cos (\frac{11 π}{6} + 2 π 1)

Fasse zusammen

1.5 = 1.5

\Rightarrow Wahr

θ = \frac{π}{2} + 2 πn, θ = \frac{11 π}{6} + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

3tan(θ)+sqrt(3)=0

3 tan (θ) + 3 = 0

sec(x)=-5/2

sec (x) = - \frac{5}{2}

sin(4θ)=0

sin (4 θ) = 0

csc^2(θ)-2=0

csc^{2} (θ) - 2 = 0

2sin^2(x)+11cos(x)=7

2 sin^{2} (x) + 11 cos (x) = 7