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Popolare Trigonometria >

2sec(x)+2tan(x)=2

Soluzione

2 sec (x) + 2 tan (x) = 2

Soluzione

x = 2 πn + 2 π

Gradi

x = 36 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Fasi della soluzione

2 sec (x) + 2 tan (x) = 2

Sottrarre

2

da entrambi i lati

2 sec (x) + 2 tan (x) - 2 = 0

Esprimere con sen e cos

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 = 0

Semplifica

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2 : \frac{2 + 2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 2

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )} = \frac{2}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 2}{cos ( x )}

Moltiplica i numeri:

1 \cdot 2 = 2

= \frac{2}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )}

2 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Moltiplica le frazioni:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )}

= \frac{2}{cos ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} - 2

Combinare le frazioni

\frac{2}{cos ( x )} + \frac{2 sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{2 + 2 sin ( x )}{cos ( x )}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + 2 sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 sin ( x ) + 2}{cos ( x )} - 2

Converti l'elemento in frazione:

2 = \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{2 + sin ( x ) \cdot 2}{cos ( x )} - \frac{2 cos ( x )}{cos ( x )}

Poiché i denominatori sono uguali, combinare le frazioni:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{2 + sin ( x ) \cdot 2 - 2 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{2 + 2 sin ( x ) - 2 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

2 + 2 sin (x) - 2 cos (x) = 0

Aggiungi

2 cos (x)

ad entrambi i lati

2 + 2 sin (x) = 2 cos (x)

Eleva entrambi i lati al quadrato

(2 + 2 sin (x))^{2} = (2 cos (x))^{2}

Sottrarre

(2 cos (x))^{2}

da entrambi i lati

(2 + 2 sin (x))^{2} - 4 cos^{2} (x) = 0

Fattorizza

(2 + 2 sin (x))^{2} - 4 cos^{2} (x) : 4 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

(2 + 2 sin (x))^{2} - 4 cos^{2} (x)

Riscrivi

(2 + 2 sin (x))^{2} - 4 cos^{2} (x)

come

(2 + 2 sin (x))^{2} - (2 cos (x))^{2}

(2 + 2 sin (x))^{2} - 4 cos^{2} (x)

Riscrivi

4

come

2^{2}

= (2 + 2 sin (x))^{2} - 2^{2} cos^{2} (x)

Applica la regola degli esponenti:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

2^{2} cos^{2} (x) = (2 cos (x))^{2}

= (2 + 2 sin (x))^{2} - (2 cos (x))^{2}

= (2 + 2 sin (x))^{2} - (2 cos (x))^{2}

Applicare la formula differenza di due quadrati:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(2 + 2 sin (x))^{2} - (2 cos (x))^{2} = ((2 + 2 sin (x)) + 2 cos (x)) ((2 + 2 sin (x)) - 2 cos (x))

= ((2 + 2 sin (x)) + 2 cos (x)) ((2 + 2 sin (x)) - 2 cos (x))

Affinare

= (2 sin (x) + 2 cos (x) + 2) (2 sin (x) - 2 cos (x) + 2)

Fattorizza

2 + 2 sin (x) + 2 cos (x) : 2 (1 + sin (x) + cos (x))

2 + 2 sin (x) + 2 cos (x)

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (1 + sin (x) + cos (x))

= 2 (sin (x) + cos (x) + 1) (2 sin (x) - 2 cos (x) + 2)

Fattorizza

2 + 2 sin (x) - 2 cos (x) : 2 (1 + sin (x) - cos (x))

2 + 2 sin (x) - 2 cos (x)

Fattorizzare dal termine comune

2

= 2 (1 + sin (x) - cos (x))

= 2 (1 + sin (x) + cos (x)) \cdot 2 (1 + sin (x) - cos (x))

Affinare

= 4 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

4 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x)) = 0

Risolvere ogni parte separatamente

1 + sin (x) + cos (x) = 0 or 1 + sin (x) - cos (x) = 0

1 + sin (x) + cos (x) = 0 : x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) + cos (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

1 + sin (x) + cos (x)

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Riscrivi come

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Usa l'identità triviale seguente:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Usa l'identità triviale seguente:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

Semplificare

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Soluzioni generali per

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Risolvi

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + π

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Sottrarre

\frac{π}{4}

da entrambi i lati

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Semplificare

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + π

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Combinare le frazioni

- \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : π

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 5 π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- π + 5 π = 4 π

= \frac{4 π}{4}

Dividi i numeri:

\frac{4}{4} = 1

= π

= 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

Risolvi

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Sottrarre

\frac{π}{4}

da entrambi i lati

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Semplificare

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Semplificare

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Combinare le frazioni

- \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 7 π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- π + 7 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) - cos (x) = 0 : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

1 + sin (x) - cos (x) = 0

Riscrivere utilizzando identità trigonometriche

1 + sin (x) - cos (x)

sin (x) - cos (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

sin (x) - cos (x)

Riscrivi come

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{2} cos (x))

Usa l'identità triviale seguente:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Usa l'identità triviale seguente:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) - sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Usa la formula della somma degli angoli:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (x - \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Spostare

1

a destra dell'equazione

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Sottrarre

1

da entrambi i lati

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Semplificare

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Dividere entrambi i lati per

2

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Semplificare

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} : sin (x - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2}

Cancella il fattore comune:

2

= sin (x - \frac{π}{4})

Semplificare

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Applica la regola delle frazioni:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Razionalizzare

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Moltiplicare per il coniugato

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Applicare la regola della radice:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Soluzioni generali per

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

periodicità tabella con

2 πn

cicli:

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} sin (x) 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2} 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} sin (x) 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Risolvi

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Aggiungi

\frac{π}{4}

ad entrambi i lati

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Semplificare

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Semplificare

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Semplificare

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Combinare le frazioni

\frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 5 π}{4}

Aggiungi elementi simili:

π + 5 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Cancella il fattore comune:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Risolvi

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + 2 π

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Spostare

\frac{π}{4}

a destra dell'equazione

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Aggiungi

\frac{π}{4}

ad entrambi i lati

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Semplificare

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Semplificare

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Aggiungi elementi simili:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Semplificare

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + 2 π

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Raggruppa termini simili

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Combinare le frazioni

\frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : 2 π

Applicare la regola

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 7 π}{4}

Aggiungi elementi simili:

π + 7 π = 8 π

= \frac{8 π}{4}

Dividi i numeri:

\frac{8}{4} = 2

= 2 π

= 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Combinare tutte le soluzioni

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Verifica le soluzioni inserendole nell' equazione originale

Verifica le soluzioni sostituendole in

2 sec (x) + 2 tan (x) = 2

Rimuovi quelle che non si concordano con l'equazione.

Verificare la soluzione

2 πn + π :

Falso

2 πn + π

Inserire in

n = 1

2 π 1 + π

Per

2 sec (x) + 2 tan (x) = 2

inserisci la

x = 2 π 1 + π

2 sec (2 π 1 + π) + 2 tan (2 π 1 + π) = 2

Affinare

- 2 = 2

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

2 πn + \frac{3 π}{2} :

Falso

2 πn + \frac{3 π}{2}

Inserire in

n = 1

2 π 1 + \frac{3 π}{2}

Per

2 sec (x) + 2 tan (x) = 2

inserisci la

x = 2 π 1 + \frac{3 π}{2}

2 sec (2 π 1 + \frac{3 π}{2}) + 2 tan (2 π 1 + \frac{3 π}{2}) = 2

“ N o n d e f ini t o “

\Rightarrow Falso

Verificare la soluzione

2 πn + 2 π :

Vero

2 πn + 2 π

Inserire in

n = 1

2 π 1 + 2 π

Per

2 sec (x) + 2 tan (x) = 2

inserisci la

x = 2 π 1 + 2 π

2 sec (2 π 1 + 2 π) + 2 tan (2 π 1 + 2 π) = 2

Affinare

2 = 2

\Rightarrow Vero

x = 2 πn + 2 π

Grafico

Esempi popolari

2sin^2(θ)+sqrt(3)sin(θ)=0

2 sin^{2} (θ) + 3 sin (θ) = 0

cos^2(x)=sin^2(x/2)

cos^{2} (x) = sin^{2} (\frac{x}{2})

sin(x+pi/4)=-(sqrt(2))/2

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

1=tan(θ)

1 = tan (θ)

2cos(x)-4=0

2 cos (x) - 4 = 0