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Beliebt Trigonometrie >

4sec(x)+4tan(x)=4

Lösung

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

Lösung

x = 2 πn + 2 π

Grad

x = 36 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

Subtrahiere

4

von beiden Seiten

4 sec (x) + 4 tan (x) - 4 = 0

Drücke mit sin, cos aus

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 4 = 0

Vereinfache

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 4 : \frac{4 + 4 sin ( x ) - 4 cos ( x )}{cos ( x )}

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )} + 4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} - 4

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )} = \frac{4}{cos ( x )}

4 \cdot \frac{1}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 4}{cos ( x )}

Multipliziere die Zahlen:

1 \cdot 4 = 4

= \frac{4}{cos ( x )}

4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )} = \frac{4 sin ( x )}{cos ( x )}

4 \cdot \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

Multipliziere Brüche:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( x ) \cdot 4}{cos ( x )}

= \frac{4}{cos ( x )} + \frac{4 sin ( x )}{cos ( x )} - 4

Ziehe Brüche zusammen

\frac{4}{cos ( x )} + \frac{4 sin ( x )}{cos ( x )} : \frac{4 + 4 sin ( x )}{cos ( x )}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 + 4 sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{4 sin ( x ) + 4}{cos ( x )} - 4

Wandle das Element in einen Bruch um:

4 = \frac{4 cos ( x )}{cos ( x )}

= \frac{4 + sin ( x ) \cdot 4}{cos ( x )} - \frac{4 cos ( x )}{cos ( x )}

Da die Nenner gleich sind, fasse die Brüche zusammen.:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{4 + sin ( x ) \cdot 4 - 4 cos ( x )}{cos ( x )}

\frac{4 + 4 sin ( x ) - 4 cos ( x )}{cos ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

4 + 4 sin (x) - 4 cos (x) = 0

Füge

4 cos (x)

zu beiden Seiten hinzu

4 + 4 sin (x) = 4 cos (x)

Quadriere beide Seiten

(4 + 4 sin (x))^{2} = (4 cos (x))^{2}

Subtrahiere

(4 cos (x))^{2}

von beiden Seiten

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x) = 0

Faktorisiere

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x) : 16 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

Schreibe

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

um:

(4 + 4 sin (x))^{2} - (4 cos (x))^{2}

(4 + 4 sin (x))^{2} - 16 cos^{2} (x)

Schreibe

16

um:

4^{2}

= (4 + 4 sin (x))^{2} - 4^{2} cos^{2} (x)

Wende Exponentenregel an:

a^{m} b^{m} = (ab)^{m}

4^{2} cos^{2} (x) = (4 cos (x))^{2}

= (4 + 4 sin (x))^{2} - (4 cos (x))^{2}

= (4 + 4 sin (x))^{2} - (4 cos (x))^{2}

Wende Formel zur Differenz von zwei Quadraten an:

x^{2} - y^{2} = (x + y) (x - y)

(4 + 4 sin (x))^{2} - (4 cos (x))^{2} = ((4 + 4 sin (x)) + 4 cos (x)) ((4 + 4 sin (x)) - 4 cos (x))

= ((4 + 4 sin (x)) + 4 cos (x)) ((4 + 4 sin (x)) - 4 cos (x))

Fasse zusammen

= (4 sin (x) + 4 cos (x) + 4) (4 sin (x) - 4 cos (x) + 4)

Faktorisiere

4 + 4 sin (x) + 4 cos (x) : 4 (1 + sin (x) + cos (x))

4 + 4 sin (x) + 4 cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 + sin (x) + cos (x))

= 4 (sin (x) + cos (x) + 1) (4 sin (x) - 4 cos (x) + 4)

Faktorisiere

4 + 4 sin (x) - 4 cos (x) : 4 (1 + sin (x) - cos (x))

4 + 4 sin (x) - 4 cos (x)

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 + sin (x) - cos (x))

= 4 (1 + sin (x) + cos (x)) \cdot 4 (1 + sin (x) - cos (x))

Fasse zusammen

= 16 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x))

16 (1 + sin (x) + cos (x)) (1 + sin (x) - cos (x)) = 0

Löse jeden Teil einzeln

1 + sin (x) + cos (x) = 0 or 1 + sin (x) - cos (x) = 0

1 + sin (x) + cos (x) = 0 : x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) + cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + sin (x) + cos (x)

sin (x) + cos (x) = 2 sin (x + \frac{π}{4})

sin (x) + cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) + \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) + sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s + t) = sin (s) cos (t) + cos (s) sin (t)

= 2 sin (x + \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x + \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (x + \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x + \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2} : sin (x + \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x + \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (x + \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x + \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + π

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + π

\frac{5 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : π

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 5 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 5 π = 4 π

= \frac{4 π}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{4}{4} = 1

= π

= 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

x = 2 πn + π

Löse

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Subtrahiere

\frac{π}{4}

von beiden Seiten

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Vereinfache

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4} : x

x + \frac{π}{4} - \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

\frac{π}{4} - \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{7 π}{4} + 2 πn - \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn - \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

- \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{- π + 7 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- π + 7 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

1 + sin (x) - cos (x) = 0 : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

1 + sin (x) - cos (x) = 0

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

1 + sin (x) - cos (x)

sin (x) - cos (x) = 2 sin (x - \frac{π}{4})

sin (x) - cos (x)

Schreibe um

= 2 (\frac{1}{2} sin (x) - \frac{1}{2} cos (x))

Verwende die folgende triviale Identität:

cos (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

Verwende die folgende triviale Identität:

sin (\frac{π}{4}) = \frac{1}{2}

= 2 (cos (\frac{π}{4}) sin (x) - sin (\frac{π}{4}) cos (x))

Benutze die Identität der Winkelsumme:

sin (s - t) = sin (s) cos (t) - cos (s) sin (t)

= 2 sin (x - \frac{π}{4})

= 1 + 2 sin (x - \frac{π}{4})

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Verschiebe

1

auf die rechte Seite

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) = 0

Subtrahiere

1

von beiden Seiten

1 + 2 sin (x - \frac{π}{4}) - 1 = 0 - 1

Vereinfache

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

2 sin (x - \frac{π}{4}) = - 1

Teile beide Seiten durch

2

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} = \frac{- 1}{2}

Vereinfache

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2} : sin (x - \frac{π}{4})

\frac{2 sin ( x - \frac{π}{4} )}{2}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= sin (x - \frac{π}{4})

Vereinfache

\frac{- 1}{2} : - \frac{2}{2}

\frac{- 1}{2}

Wende Bruchregel an:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{1}{2}

Rationalisiere

- \frac{1}{2} : - \frac{2}{2}

- \frac{1}{2}

Multipliziere mit dem Konjugat

\frac{2}{2}

= - \frac{1 \cdot 2}{2 2}

1 \cdot 2 = 2

22 = 2

22

Wende Radikal Regel an:

a a = a

22 = 2

= 2

= - \frac{2}{2}

= - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

Allgemeine Lösung für

sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{2}{2}

sin (x)

Periodizitätstabelle mit

2 πn

Zyklus:

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn, x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Löse

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x - \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{4}

zu beiden Seiten hinzu

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + \frac{3 π}{2}

\frac{5 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{5 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{π}{4} + \frac{5 π}{4} : \frac{3 π}{2}

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 5 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

π + 5 π = 6 π

= \frac{6 π}{4}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

2

= \frac{3 π}{2}

= 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}

Löse

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn : x = 2 πn + 2 π

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Verschiebe

\frac{π}{4}

auf die rechte Seite

x - \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Füge

\frac{π}{4}

zu beiden Seiten hinzu

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = \frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Vereinfache

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4} : x

x - \frac{π}{4} + \frac{π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

- \frac{π}{4} + \frac{π}{4} = 0

= x

Vereinfache

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4} : 2 πn + 2 π

\frac{7 π}{4} + 2 πn + \frac{π}{4}

Fasse gleiche Terme zusammen

= 2 πn + \frac{π}{4} + \frac{7 π}{4}

Ziehe Brüche zusammen

\frac{π}{4} + \frac{7 π}{4} : 2 π

Wende Regel an

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{π + 7 π}{4}

Addiere gleiche Elemente:

π + 7 π = 8 π

= \frac{8 π}{4}

Teile die Zahlen:

\frac{8}{4} = 2

= 2 π

= 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + 2 π

x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Kombiniere alle Lösungen

x = 2 πn + π, x = 2 πn + \frac{3 π}{2}, x = 2 πn + 2 π

Verifiziere Lösungen, indem du sie in die Original-Gleichung einsetzt

Überprüfe die Lösungen, in dem die sie in

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

einsetzt und entferne die Lösungen, die mit der Gleichung nicht übereinstimmen.

Überprüfe die Lösung

2 πn + π :

Falsch

2 πn + π

Setze ein

n = 1

2 π 1 + π

Setze

x = 2 π 1 + π

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

ein, um zu lösen

4 sec (2 π 1 + π) + 4 tan (2 π 1 + π) = 4

Fasse zusammen

- 4 = 4

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn + \frac{3 π}{2} :

Falsch

2 πn + \frac{3 π}{2}

Setze ein

n = 1

2 π 1 + \frac{3 π}{2}

Setze

x = 2 π 1 + \frac{3 π}{2}

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

ein, um zu lösen

4 sec (2 π 1 + \frac{3 π}{2}) + 4 tan (2 π 1 + \frac{3 π}{2}) = 4

Unbestimmt

\Rightarrow Falsch

Überprüfe die Lösung

2 πn + 2 π :

Wahr

2 πn + 2 π

Setze ein

n = 1

2 π 1 + 2 π

Setze

x = 2 π 1 + 2 π

4 sec (x) + 4 tan (x) = 4

ein, um zu lösen

4 sec (2 π 1 + 2 π) + 4 tan (2 π 1 + 2 π) = 4

Fasse zusammen

4 = 4

\Rightarrow Wahr

x = 2 πn + 2 π

Graph

Beliebte Beispiele

8sin(2x)sin(x)=8cos(x)

8 sin (2 x) sin (x) = 8 cos (x)

cos(x)=-3/4

cos (x) = - \frac{3}{4}

2cos^2(x)+cos(x)-1=0,0<= x<= 2pi

2 cos^{2} (x) + cos (x) - 1 = 0, 0 \leq x \leq 2 π

arcsin(x)-arccos(-1/2)= pi/6

arcsin (x) - arccos (- \frac{1}{2}) = \frac{π}{6}

tan^2(x)-tan(x)-2=0

tan^{2} (x) - tan (x) - 2 = 0