English

Español

Português

Français

Deutsch

Italiano

Русский

中文(简体)

한국어

日本語

Tiếng Việt

עברית

العربية

Популярное Тригонометрия >

tan(θ)+cot(θ)=4sin(2θ)

Решение

tan (θ) + cot (θ) = 4 sin (2 θ)

Решение

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn, θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Градусы

θ = 22. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 67. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 112. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n, θ = 157. 5^{\circ} + 18 0^{\circ} n

Шаги решения

tan (θ) + cot (θ) = 4 sin (2 θ)

Вычтите

4 sin (2 θ)

с обеих сторон

tan (θ) + cot (θ) - 4 sin (2 θ) = 0

Выразите с помощью синуса (sin), косинуса (cos)

cot (θ) + tan (θ) - 4 sin (2 θ)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

cot (x) = \frac{cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + tan (θ) - 4 sin (2 θ)

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

tan (x) = \frac{sin ( x )}{cos ( x )}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

Упростить

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ) : \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - 4 sin (2 θ)

Преобразуйте элемент в дробь:

4 sin (2 θ) = \frac{4 sin ( 2 θ )}{1}

= \frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} + \frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} - \frac{4 sin ( 2 θ )}{1}

Наименьший Общий Множитель

sin (θ), cos (θ), 1 : sin (θ) cos (θ)

sin (θ), cos (θ), 1

Наименьший Общий Кратный (НОК)

Вычислите выражение, состоящее из множителей, которые появляются хотя бы в одном из факторизованных выражений

= sin (θ) cos (θ)

Отрегулируйте дроби на основе Наименьшего Общего Кратного (НОК)

Умножьте каждый числитель на такое же число, необходимое для умножения его

соответствующего знаменателя, чтобы превратить его в НОК

sin (θ) cos (θ)

Для

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} :

умножить знаменатель и числитель на

cos (θ)

\frac{cos ( θ )}{sin ( θ )} = \frac{cos ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Для

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} :

умножить знаменатель и числитель на

sin (θ)

\frac{sin ( θ )}{cos ( θ )} = \frac{sin ( θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Для

\frac{4 sin ( 2 θ )}{1} :

умножить знаменатель и числитель на

sin (θ) cos (θ)

\frac{4 sin ( 2 θ )}{1} = \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{1 \cdot sin ( θ ) cos ( θ )} = \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} + \frac{sin ^{2} ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )} - \frac{4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

Так как знаменатели равны, сложите дроби:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

= \frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 sin ( 2 θ ) sin ( θ ) cos ( θ )}{sin ( θ ) cos ( θ )}

\frac{cos ^{2} ( θ ) + sin ^{2} ( θ ) - 4 cos ( θ ) sin ( 2 θ ) sin ( θ )}{cos ( θ ) sin ( θ )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ) = 0

Перепишите используя тригонометрические тождества

cos^{2} (θ) + sin^{2} (θ) - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ)

Используйте основное тригонометрическое тождество (тождество Пифагора):

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

= - 4 cos (θ) sin (2 θ) sin (θ) + 1

Используйте тождество двойного угла:

2 sin (x) cos (x) = sin (2 x)

sin (x) cos (x) = \frac{sin ( 2 x )}{2}

= 1 - 4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ)

4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ) = 2 sin^{2} (2 θ)

4 \cdot \frac{sin ( 2 θ )}{2} sin (2 θ)

Умножьте дроби:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{sin ( 2 θ ) \cdot 4 sin ( 2 θ )}{2}

sin (2 θ) \cdot 4 sin (2 θ) = 4 sin^{2} (2 θ)

sin (2 θ) \cdot 4 sin (2 θ)

Примените правило возведения в степень:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

sin (2 θ) sin (2 θ) = sin^{1 + 1} (2 θ)

= 4 sin^{1 + 1} (2 θ)

Добавьте числа:

1 + 1 = 2

= 4 sin^{2} (2 θ)

= \frac{4 sin ^{2} ( 2 θ )}{2}

Разделите числа:

\frac{4}{2} = 2

= 2 sin^{2} (2 θ)

= 1 - 2 sin^{2} (2 θ)

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Решитe подстановкой

1 - 2 sin^{2} (2 θ) = 0

Допустим:

sin (2 θ) = u

1 - 2 u^{2} = 0

1 - 2 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

1 - 2 u^{2} = 0

Переместите

1

вправо

1 - 2 u^{2} = 0

Вычтите

1

с обеих сторон

1 - 2 u^{2} - 1 = 0 - 1

После упрощения получаем

- 2 u^{2} = - 1

- 2 u^{2} = - 1

Разделите обе стороны на

- 2

- 2 u^{2} = - 1

Разделите обе стороны на

- 2

\frac{- 2 u ^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}

После упрощения получаем

u^{2} = \frac{1}{2}

u^{2} = \frac{1}{2}

Для

x^{2} = f (a)

решениями являются

x = f (a), - f (a)

u = \frac{1}{2}, u = - \frac{1}{2}

Делаем обратную замену

u = sin (2 θ)

sin (2 θ) = \frac{1}{2}, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2}, sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (2 θ) = \frac{1}{2} : θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

Общие решения для

sin (2 θ) = \frac{1}{2}

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Решить

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn : θ = \frac{π}{8} + πn

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 θ = \frac{π}{4} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Упростите

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{π}{8} + πn

\frac{\frac{π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{π}{4}}{2} = \frac{π}{8}

\frac{\frac{π}{4}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{π}{4 \cdot 2}

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn

Решить

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{3 π}{8} + πn

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 θ = \frac{3 π}{4} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Упростите

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{3 π}{8} + πn

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{3 π}{4}}{2} = \frac{3 π}{8}

\frac{\frac{3 π}{4}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{3 π}{4 \cdot 2}

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{3 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{3 π}{8} + πn

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2} : θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

Общие решения для

sin (2 θ) = - \frac{1}{2}

sin (x)

таблица периодичности с циклом

2 πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn, 2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Решить

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{5 π}{8} + πn

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 θ = \frac{5 π}{4} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Упростите

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{5 π}{8} + πn

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{5 π}{4}}{2} = \frac{5 π}{8}

\frac{\frac{5 π}{4}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{5 π}{4 \cdot 2}

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{5 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn

Решить

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn : θ = \frac{7 π}{8} + πn

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

2 θ = \frac{7 π}{4} + 2 πn

Разделите обе стороны на

2

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

После упрощения получаем

\frac{2 θ}{2} = \frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

Упростите

\frac{2 θ}{2} : θ

\frac{2 θ}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= θ

Упростите

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2} : \frac{7 π}{8} + πn

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} + \frac{2 πn}{2}

\frac{\frac{7 π}{4}}{2} = \frac{7 π}{8}

\frac{\frac{7 π}{4}}{2}

Примените правило дробей:

\frac{\frac{b}{c}}{a} = \frac{b}{c \cdot a}

= \frac{7 π}{4 \cdot 2}

Перемножьте числа:

4 \cdot 2 = 8

= \frac{7 π}{8}

\frac{2 πn}{2} = πn

\frac{2 πn}{2}

Разделите числа:

\frac{2}{2} = 1

= πn

= \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{7 π}{8} + πn

θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Объедините все решения

θ = \frac{π}{8} + πn, θ = \frac{3 π}{8} + πn, θ = \frac{5 π}{8} + πn, θ = \frac{7 π}{8} + πn

Решение

Решение

График

Популярные примеры