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Beliebt Trigonometrie >

4cos^2(x)-4cos(x)-1=0

Lösung

4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Lösung

x = 1.77941 \dots + 2 πn, x = - 1.77941 \dots + 2 πn

Grad

x = 101.95285 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n, x = - 101.95285 \dots^{\circ} + 36 0^{\circ} n

Schritte zur Lösung

4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Löse mit Substitution

4 cos^{2} (x) - 4 cos (x) - 1 = 0

Angenommen:

cos (x) = u

4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

4 u^{2} - 4 u - 1 = 0 : u = \frac{1 + 2}{2}, u = \frac{1 - 2}{2}

4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Löse mit der quadratischen Formel

4 u^{2} - 4 u - 1 = 0

Quadratische Formel für Gliechungen:

Für

a = 4, b = - 4, c = - 1

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm ( - 4 ) ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 1 )}{2 \cdot 4}

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1) = 42

(- 4)^{2} - 4 \cdot 4 (- 1)

Wende Regel an

- (- a) = a

= (- 4)^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Wende Exponentenregel an:

(- a)^{n} = a^{n},

wenn

n

gerade ist

(- 4)^{2} = 4^{2}

= 4^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 1

Multipliziere die Zahlen:

4 \cdot 4 \cdot 1 = 16

= 4^{2} + 16

4^{2} = 16

= 16 + 16

Addiere die Zahlen:

16 + 16 = 32

= 32

Primfaktorzerlegung von

32 : 2^{5}

32

32

ist durch

232 = 16 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 16

16

ist durch

216 = 8 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 8

8

ist durch

28 = 4 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 4

4

ist durch

24 = 2 \cdot 2

teilbar

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

2

ist eine Primzahl, deshalb ist keine weitere Faktorisierung möglich.

= 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2

= 2^{5}

= 2^{5}

Wende Exponentenregel an:

a^{b + c} = a^{b} \cdot a^{c}

= 2^{4} \cdot 2

Wende Radikal Regel an:

n ab = n a n b

= 2 2^{4}

Wende Radikal Regel an:

n a^{m} = a^{\frac{m}{n}}

2^{4} = 2^{\frac{4}{2}} = 2^{2}

= 2^{2} 2

Fasse zusammen

= 42

u_{1, 2} = \frac{- ( - 4 ) \pm 4 2}{2 \cdot 4}

Trenne die Lösungen

u_{1} = \frac{- ( - 4 ) + 4 2}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- ( - 4 ) - 4 2}{2 \cdot 4}

u = \frac{- ( - 4 ) + 4 2}{2 \cdot 4} : \frac{1 + 2}{2}

\frac{- ( - 4 ) + 4 2}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 + 4 2}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 + 4 2}{8}

Faktorisiere

4 + 42 : 4 (1 + 2)

4 + 42

Schreibe um

= 4 \cdot 1 + 42

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 + 2)

= \frac{4 ( 1 + 2 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1 + 2}{2}

u = \frac{- ( - 4 ) - 4 2}{2 \cdot 4} : \frac{1 - 2}{2}

\frac{- ( - 4 ) - 4 2}{2 \cdot 4}

Wende Regel an

- (- a) = a

= \frac{4 - 4 2}{2 \cdot 4}

Multipliziere die Zahlen:

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4 - 4 2}{8}

Faktorisiere

4 - 42 : 4 (1 - 2)

4 - 42

Schreibe um

= 4 \cdot 1 - 42

Klammere gleiche Terme aus

4

= 4 (1 - 2)

= \frac{4 ( 1 - 2 )}{8}

Streiche die gemeinsamen Faktoren:

4

= \frac{1 - 2}{2}

Die Lösungen für die quadratische Gleichung sind:

u = \frac{1 + 2}{2}, u = \frac{1 - 2}{2}

Setze in

u = cos (x)

ein

cos (x) = \frac{1 + 2}{2}, cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

cos (x) = \frac{1 + 2}{2}, cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

cos (x) = \frac{1 + 2}{2} :

Keine Lösung

cos (x) = \frac{1 + 2}{2}

- 1 \leq cos (x) \leq 1

Keine L \overset{o}{¨} sung

cos (x) = \frac{1 - 2}{2} : x = arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn

cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

Wende die Eigenschaften der Trigonometrie an

cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

Allgemeine Lösung für

cos (x) = \frac{1 - 2}{2}

cos (x) = - a \Rightarrow x = arccos (- a) + 2 πn, x = - arccos (- a) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn

x = arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn

Kombiniere alle Lösungen

x = arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn, x = - arccos (\frac{1 - 2}{2}) + 2 πn

Zeige Lösungen in Dezimalform

x = 1.77941 \dots + 2 πn, x = - 1.77941 \dots + 2 πn

Graph

Beliebte Beispiele

cos(x)=(-sqrt(3))/2

cos (x) = \frac{- 3}{2}

sin(2x)=-sqrt(3)sin(x)

sin (2 x) = - 3 sin (x)

2cos((x+pi)/6)=1,0<x<2pi

2 cos (\frac{x + π}{6}) = 1, 0 < x < 2 π

tan^2(x)+sec(x)-1=0

tan^{2} (x) + sec (x) - 1 = 0

2cos(x)sin(x)=cos(x)

2 cos (x) sin (x) = cos (x)