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Populaire Trigonométrie >

csc(x)+cot(x)=sqrt(3)

Solution

csc (x) + cot (x) = 3

Solution

x = \frac{π}{3} + 2 πn

Degrés

x = 6 0^{\circ} + 36 0^{\circ} n

étapes des solutions

csc (x) + cot (x) = 3

Soustraire

3

des deux côtés

csc (x) + cot (x) - 3 = 0

Exprimer avec sinus, cosinus

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3 = 0

Simplifier

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3 : \frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} - 3

Combiner les fractions

\frac{1}{sin ( x )} + \frac{cos ( x )}{sin ( x )} : \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

Appliquer la règle

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )}

= \frac{cos ( x ) + 1}{sin ( x )} - 3

Convertir un élément en fraction:

3 = \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

= \frac{1 + cos ( x )}{sin ( x )} - \frac{3 sin ( x )}{sin ( x )}

Puisque les dénominateurs sont égaux, combiner les fractions:

\frac{a}{c} \pm \frac{b}{c} = \frac{a \pm b}{c}

= \frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )}

\frac{1 + cos ( x ) - 3 sin ( x )}{sin ( x )} = 0

\frac{f ( x )}{g ( x )} = 0 \Rightarrow f (x) = 0

1 + cos (x) - 3 sin (x) = 0

Ajouter

3 sin (x)

aux deux côtés

1 + cos (x) = 3 sin (x)

Mettre les deux côtés au carré

(1 + cos (x))^{2} = (3 sin (x))^{2}

Soustraire

(3 sin (x))^{2}

des deux côtés

(1 + cos (x))^{2} - 3 sin^{2} (x) = 0

Récrire en utilisant des identités trigonométriques

(1 + cos (x))^{2} - 3 sin^{2} (x)

Utiliser l'identité hyperbolique:

cos^{2} (x) + sin^{2} (x) = 1

sin^{2} (x) = 1 - cos^{2} (x)

= (1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x))

Simplifier

(1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x)) : 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

(1 + cos (x))^{2} - 3 (1 - cos^{2} (x))

(1 + cos (x))^{2} : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

Appliquer la formule du carré parfait:

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

a = 1, b = cos (x)

= 1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Simplifier

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x) : 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

1^{2} + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Appliquer la règle

1^{a} = 1

1^{2} = 1

= 1 + 2 \cdot 1 \cdot cos (x) + cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

2 \cdot 1 = 2

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 (1 - cos^{2} (x))

Développer

- 3 (1 - cos^{2} (x)) : - 3 + 3 cos^{2} (x)

- 3 (1 - cos^{2} (x))

Appliquer la loi de la distribution:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3, b = 1, c = cos^{2} (x)

= - 3 \cdot 1 - (- 3) cos^{2} (x)

Appliquer les règles des moins et des plus

- (- a) = a

= - 3 \cdot 1 + 3 cos^{2} (x)

Multiplier les nombres :

3 \cdot 1 = 3

= - 3 + 3 cos^{2} (x)

= 1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x)

Simplifier

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x) : 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

1 + 2 cos (x) + cos^{2} (x) - 3 + 3 cos^{2} (x)

Grouper comme termes

= 2 cos (x) + cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) + 1 - 3

Additionner les éléments similaires :

cos^{2} (x) + 3 cos^{2} (x) = 4 cos^{2} (x)

= 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) + 1 - 3

Additionner/Soustraire les nombres :

1 - 3 = - 2

= 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

= 4 cos^{2} (x) + 2 cos (x) - 2

- 2 + 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Résoudre par substitution

- 2 + 2 cos (x) + 4 cos^{2} (x) = 0

Soit :

cos (x) = u

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0 : u = \frac{1}{2}, u = - 1

- 2 + 2 u + 4 u^{2} = 0

Ecrire sous la forme standard

a x^{2} + b x + c = 0

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Résoudre par la formule quadratique

4 u^{2} + 2 u - 2 = 0

Formule de l'équation quadratique:

Pour

a = 4, b = 2, c = - 2

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 2 ^{2} - 4 \cdot 4 ( - 2 )}{2 \cdot 4}

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2) = 6

2^{2} - 4 \cdot 4 (- 2)

Appliquer la règle

- (- a) = a

= 2^{2} + 4 \cdot 4 \cdot 2

Multiplier les nombres :

4 \cdot 4 \cdot 2 = 32

= 2^{2} + 32

2^{2} = 4

= 4 + 32

Additionner les nombres :

4 + 32 = 36

= 36

Factoriser le nombre :

36 = 6^{2}

= 6^{2}

Appliquer la règle des radicaux:

n a^{n} = a

6^{2} = 6

= 6

u_{1, 2} = \frac{- 2 \pm 6}{2 \cdot 4}

Séparer les solutions

u_{1} = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}, u_{2} = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

u = \frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4} : \frac{1}{2}

\frac{- 2 + 6}{2 \cdot 4}

Additionner/Soustraire les nombres :

- 2 + 6 = 4

= \frac{4}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{4}{8}

Annuler le facteur commun :

4

= \frac{1}{2}

u = \frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4} : - 1

\frac{- 2 - 6}{2 \cdot 4}

Soustraire les nombres :

- 2 - 6 = - 8

= \frac{- 8}{2 \cdot 4}

Multiplier les nombres :

2 \cdot 4 = 8

= \frac{- 8}{8}

Appliquer la règle des fractions:

\frac{- a}{b} = - \frac{a}{b}

= - \frac{8}{8}

Appliquer la règle

\frac{a}{a} = 1

= - 1

Les solutions de l'équation de forme quadratique sont :

u = \frac{1}{2}, u = - 1

Remplacer

u = cos (x)

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{1}{2}, cos (x) = - 1

cos (x) = \frac{1}{2} : x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = \frac{1}{2}

Solutions générales pour

cos (x) = \frac{1}{2}

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn

cos (x) = - 1 : x = π + 2 πn

cos (x) = - 1

Solutions générales pour

cos (x) = - 1

Tableau de périodicité

cos (x)

avec un cycle

2 πn

x 0 \frac{π}{6} \frac{π}{4} \frac{π}{3} \frac{π}{2} \frac{2 π}{3} \frac{3 π}{4} \frac{5 π}{6} cos (x) 1 \frac{3}{2} \frac{2}{2} \frac{1}{2} 0 - \frac{1}{2} - \frac{2}{2} - \frac{3}{2} x π \frac{7 π}{6} \frac{5 π}{4} \frac{4 π}{3} \frac{3 π}{2} \frac{5 π}{3} \frac{7 π}{4} \frac{11 π}{6} cos (x) - 1 - \frac{3}{2} - \frac{2}{2} - \frac{1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{2}{2} \frac{3}{2}

x = π + 2 πn

x = π + 2 πn

Combiner toutes les solutions

x = \frac{π}{3} + 2 πn, x = \frac{5 π}{3} + 2 πn, x = π + 2 πn

Vérifier les solutions en les intégrant dans l'équation d'origine

Vérifier des solutions en les intégrant dans

csc (x) + cot (x) = 3

Retirer celles qui ne répondent pas à l'équation.

Vérifier la solution

\frac{π}{3} + 2 πn :

vrai

\frac{π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{π}{3} + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = 3

insérer

x = \frac{π}{3} + 2 π 1

csc (\frac{π}{3} + 2 π 1) + cot (\frac{π}{3} + 2 π 1) = 3

Redéfinir

1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow vrai

Vérifier la solution

\frac{5 π}{3} + 2 πn :

Faux

\frac{5 π}{3} + 2 πn

Insérer

n = 1

\frac{5 π}{3} + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = 3

insérer

x = \frac{5 π}{3} + 2 π 1

csc (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) + cot (\frac{5 π}{3} + 2 π 1) = 3

Redéfinir

- 1.73205 \dots = 1.73205 \dots

\Rightarrow Faux

Vérifier la solution

π + 2 πn :

Faux

π + 2 πn

Insérer

n = 1

π + 2 π 1

Pour

csc (x) + cot (x) = 3

insérer

x = π + 2 π 1

csc (π + 2 π 1) + cot (π + 2 π 1) = 3

Ind \overset{e}{ˊ} fini

\Rightarrow Faux

x = \frac{π}{3} + 2 πn

Graphe

Exemples populaires

sin^2(θ)-1=0

sin^{2} (θ) - 1 = 0

3tan(x)=-sqrt(3)

3 tan (x) = - 3

5sin(x)+2=sin(x)

5 sin (x) + 2 = sin (x)

tan^2(θ)+tan(θ)=0

tan^{2} (θ) + tan (θ) = 0

sin^2(x)+sin(x)-2=0

sin^{2} (x) + sin (x) - 2 = 0