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受欢迎的三角函数 >

sinh(3x)-3sinh(x)=0

解答

sinh (3 x) - 3 sinh (x) = 0

解答

x = 0

+1

度数

x = 0^{\circ}

求解步骤

sinh (3 x) - 3 sinh (x) = 0

使用三角恒等式改写

sinh (3 x) - 3 sinh (x) = 0

使用双曲函数恒等式:

sinh (x) = \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2}

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0 : x = 0

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} = 0

在两边乘以

2

\frac{e ^{3 x} - e ^{- 3 x}}{2} \cdot 2 - 3 \cdot \frac{e ^{x} - e ^{- x}}{2} \cdot 2 = 0 \cdot 2

化简

e^{3 x} - e^{- 3 x} - 3 (e^{x} - e^{- x}) = 0

使用指数运算法则

e^{3 x} - e^{- 3 x} - 3 (e^{x} - e^{- x}) = 0

使用指数法则:

a^{b c} = (a^{b})^{c}

e^{3 x} = (e^{x})^{3}, e^{- 3 x} = (e^{x})^{- 3}, e^{- x} = (e^{x})^{- 1}

(e^{x})^{3} - (e^{x})^{- 3} - 3 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) = 0

(e^{x})^{3} - (e^{x})^{- 3} - 3 (e^{x} - (e^{x})^{- 1}) = 0

用

e^{x} = u

改写方程式

(u)^{3} - (u)^{- 3} - 3 (u - (u)^{- 1}) = 0

解

u^{3} - u^{- 3} - 3 (u - u^{- 1}) = 0 : u = 1, u = - 1

u^{3} - u^{- 3} - 3 (u - u^{- 1}) = 0

整理后得

u^{3} - \frac{1}{u ^{3}} - 3 (u - \frac{1}{u}) = 0

在两边乘以

u^{3}

u^{3} - \frac{1}{u ^{3}} - 3 (u - \frac{1}{u}) = 0

在两边乘以

u^{3}

u^{3} u^{3} - \frac{1}{u ^{3}} u^{3} - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0 \cdot u^{3}

化简

u^{3} u^{3} - \frac{1}{u ^{3}} u^{3} - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0 \cdot u^{3}

化简

u^{3} u^{3} : u^{6}

u^{3} u^{3}

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{3} u^{3} = u^{3 + 3}

= u^{3 + 3}

数字相加:

3 + 3 = 6

= u^{6}

化简

- \frac{1}{u ^{3}} u^{3} : - 1

- \frac{1}{u ^{3}} u^{3}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= - \frac{1 \cdot u ^{3}}{u ^{3}}

约分:

u^{3}

= - 1

化简

0 \cdot u^{3} : 0

0 \cdot u^{3}

使用法则

0 \cdot a = 0

= 0

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} = 0

展开

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3} : u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2}

u^{6} - 1 - 3 (u - \frac{1}{u}) u^{3}

= u^{6} - 1 - 3 u^{3} (u - \frac{1}{u})

乘开

- 3 u^{3} (u - \frac{1}{u}) : - 3 u^{4} + 3 u^{2}

- 3 u^{3} (u - \frac{1}{u})

使用分配律:

a (b - c) = ab - a c

a = - 3 u^{3}, b = u, c = \frac{1}{u}

= - 3 u^{3} u - (- 3 u^{3}) \frac{1}{u}

使用加减运算法则

- (- a) = a

= - 3 u^{3} u + 3 \cdot \frac{1}{u} u^{3}

化简

- 3 u^{3} u + 3 \cdot \frac{1}{u} u^{3} : - 3 u^{4} + 3 u^{2}

- 3 u^{3} u + 3 \cdot \frac{1}{u} u^{3}

3 u^{3} u = 3 u^{4}

3 u^{3} u

使用指数法则:

a^{b} \cdot a^{c} = a^{b + c}

u^{3} u = u^{3 + 1}

= 3 u^{3 + 1}

数字相加:

3 + 1 = 4

= 3 u^{4}

3 \cdot \frac{1}{u} u^{3} = 3 u^{2}

3 \cdot \frac{1}{u} u^{3}

分式相乘:

a \cdot \frac{b}{c} = \frac{a \cdot b}{c}

= \frac{1 \cdot 3 u ^{3}}{u}

数字相乘:

1 \cdot 3 = 3

= \frac{3 u ^{3}}{u}

约分:

u

= 3 u^{2}

= - 3 u^{4} + 3 u^{2}

= - 3 u^{4} + 3 u^{2}

= u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2}

u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2} = 0

解

u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2} = 0 : u = 1, u = - 1

u^{6} - 1 - 3 u^{4} + 3 u^{2} = 0

改写成标准形式

a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0} = 0

u^{6} - 3 u^{4} + 3 u^{2} - 1 = 0

用

v = u^{2}, v^{2} = u^{4}

和

v^{3} = u^{6}

改写方程式

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1 = 0

解

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1 = 0 : v = 1

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1 = 0

因式分解

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1 : (v - 1)^{3}

v^{3} - 3 v^{2} + 3 v - 1

使用差的立方运算法则:

a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3} = (a - b)^{3}

a = v, b = 1

= (v - 1)^{3}

(v - 1)^{3} = 0

使用零因数法则： If

ab = 0

then

a = 0

or

b = 0

v - 1 = 0

解

v - 1 = 0 : v = 1

v - 1 = 0

将

1

到右边

v - 1 = 0

两边加上

1

v - 1 + 1 = 0 + 1

化简

v = 1

v = 1

解是

v = 1

v = 1

代回

v = u^{2}

，求解

u

解

u^{2} = 1 : u = 1, u = - 1

u^{2} = 1

对于

x^{2} = f (a)

解为

x = f (a), - f (a)

u = 1, u = - 1

1 = 1

1

使用根式运算法则:

1 = 1

= 1

- 1 = - 1

- 1

使用根式运算法则:

1 = 1

1 = 1

= - 1

u = 1, u = - 1

解为

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

验证解

找到无定义的点（奇点）:

u = 0

取

u^{3} - u^{- 3} - 3 (u - u^{- 1})

的分母，令其等于零

解

u^{3} = 0 : u = 0

u^{3} = 0

使用法则

x^{n} = 0 \Rightarrow x = 0

u = 0

u = 0

以下点无定义

u = 0

将不在定义域的点与解相综合:

u = 1, u = - 1

u = 1, u = - 1

代回

u = e^{x}

，求解

x

解

e^{x} = 1 : x = 0

e^{x} = 1

使用指数运算法则

e^{x} = 1

若

f (x) = g (x)

，则

ln (f (x)) = ln (g (x))

ln (e^{x}) = ln (1)

使用对数计算法则:

ln (e^{a}) = a

ln (e^{x}) = x

x = ln (1)

化简

ln (1) : 0

ln (1)

使用对数计算法则:

lo g_{a} (1) = 0

= 0

x = 0

x = 0

解

e^{x} = - 1 : x \in R

无解

e^{x} = - 1

a^{f (x)}

对于

x

不能为零或负值

\in R

x \in R 无解

x = 0

x = 0

作图

流行的例子

cos(4x)=sin(2x)

cos (4 x) = sin (2 x)

csc(θ)=sqrt(2)

csc (θ) = 2

-sin(x)-cos(x)=0

- sin (x) - cos (x) = 0

sec(x)sin(x)-2sin(x)=0

sec (x) sin (x) - 2 sin (x) = 0

4 cos^{2} (x) = 3