интеграл от (tan^2(7x))/(csc(7x))

Решение

\int \frac{tan ^{2} ( 7 x )}{csc ( 7 x )} d x

\frac{1}{7} (sec (7 x) + cos (7 x)) + C

Шаги решения

\int \frac{tan ^{2} ( 7 x )}{csc ( 7 x )} d x

Применить подстановку интеграла

= \int \frac{tan ^{2} ( u )}{7 csc ( u )} d u

Извлечь константу:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{7} \cdot \int \frac{tan ^{2} ( u )}{csc ( u )} d u

Испльзуйте основное тригонометрическое тождество:

\frac{1}{csc ( x )} = sin (x)

= \frac{1}{7} \cdot \int tan^{2} (u) sin (u) d u

Перепишите используя тригонометрические тождества

= \frac{1}{7} \cdot \int \frac{( 1 - cos ^{2} ( u ) ) sin ( u )}{cos ^{2} ( u )} d u

Применить подстановку интеграла

= \frac{1}{7} \cdot \int - \frac{1 - v ^{2}}{v ^{2}} d v

Расширить

- \frac{1 - v ^{2}}{v ^{2}} : - \frac{1}{v ^{2}} + 1

= \frac{1}{7} \cdot \int - \frac{1}{v ^{2}} + 1 d v

Применить правило суммы:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{7} (- \int \frac{1}{v ^{2}} d v + \int 1 d v)

\int \frac{1}{v ^{2}} d v = - \frac{1}{v}

\int 1 d v = v

= \frac{1}{7} (- (- \frac{1}{v}) + v)

Делаем обратную замену

= \frac{1}{7} (- (- \frac{1}{cos ( 7 x )}) + cos (7 x))

Упростите

\frac{1}{7} (- (- \frac{1}{cos ( 7 x )}) + cos (7 x)) : \frac{1}{7} (sec (7 x) + cos (7 x))

= \frac{1}{7} (sec (7 x) + cos (7 x))

Добавить константу к решению

= \frac{1}{7} (sec (7 x) + cos (7 x)) + C