inverselaplace 4/((s+1)(s+2)^3)

解

逆ラプラス

\frac{4}{( s + 1 ) ( s + 2 ) ^{3}}

4 e^{- t} - 4 e^{- 2 t} - e^{- 2 t} \cdot 4 t - e^{- 2 t} \cdot 2 t^{2}

解答ステップ

L^{- 1} {\frac{4}{( s + 1 ) ( s + 2 ) ^{3}}}

以下の部分分数を得る:

\frac{4}{( s + 1 ) ( s + 2 ) ^{3}} : \frac{4}{s + 1} - \frac{4}{s + 2} - \frac{4}{( s + 2 ) ^{2}} - \frac{4}{( s + 2 ) ^{3}}

= L^{- 1} {\frac{4}{s + 1} - \frac{4}{s + 2} - \frac{4}{( s + 2 ) ^{2}} - \frac{4}{( s + 2 ) ^{3}}}

逆ラプラス変換の線形性を使用する:

関数

f (s), g (s)

と定数

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{4}{s + 1}} - L^{- 1} {\frac{4}{s + 2}} - L^{- 1} {\frac{4}{( s + 2 ) ^{2}}} - L^{- 1} {\frac{4}{( s + 2 ) ^{3}}}

L^{- 1} {\frac{4}{s + 1}} : 4 e^{- t}

L^{- 1} {\frac{4}{s + 2}} : 4 e^{- 2 t}

L^{- 1} {\frac{4}{( s + 2 ) ^{2}}} : e^{- 2 t} \cdot 4 t

L^{- 1} {\frac{4}{( s + 2 ) ^{3}}} : e^{- 2 t} \cdot 2 t^{2}

= 4 e^{- t} - 4 e^{- 2 t} - e^{- 2 t} \cdot 4 t - e^{- 2 t} \cdot 2 t^{2}