integral of (y^2+6y+9)/((y^2+9)^2)

解

\int \frac{y ^{2} + 6 y + 9}{( y ^{2} + 9 ) ^{2}} d y

\frac{1}{3} arctan (\frac{y}{3}) - \frac{3}{y ^{2} + 9} + C

解答ステップ

\int \frac{y ^{2} + 6 y + 9}{( y ^{2} + 9 ) ^{2}} d y

以下の部分分数を得る:

\frac{y ^{2} + 6 y + 9}{( y ^{2} + 9 ) ^{2}} : \frac{1}{y ^{2} + 9} + \frac{6 y}{( y ^{2} + 9 ) ^{2}}

= \int \frac{1}{y ^{2} + 9} + \frac{6 y}{( y ^{2} + 9 ) ^{2}} d y

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int \frac{1}{y ^{2} + 9} d y + \int \frac{6 y}{( y ^{2} + 9 ) ^{2}} d y

\int \frac{1}{y ^{2} + 9} d y = \frac{1}{3} arctan (\frac{y}{3})

\int \frac{6 y}{( y ^{2} + 9 ) ^{2}} d y = - \frac{3}{y ^{2} + 9}

= \frac{1}{3} arctan (\frac{y}{3}) - \frac{3}{y ^{2} + 9}

定数を解答に追加する

= \frac{1}{3} arctan (\frac{y}{3}) - \frac{3}{y ^{2} + 9} + C