integral from pi to 2pi of (t-pi)e^{-st}

解

\int_{π}^{2 π} (t - π) e^{- s t} d t

\frac{- 2 π s e ^{- 2 π s} - e ^{- 2 π s} + π s e ^{- π s} + e ^{- π s}}{s ^{2}} + \frac{π ( e ^{- 2 π s} - e ^{- π s} )}{s}

解答ステップ

\int_{π}^{2 π} (t - π) e^{- s t} d t

拡張

(t - π) e^{- s t} : e^{- s t} t - π e^{- s t}

= \int_{π}^{2 π} e^{- s t} t - π e^{- s t} d t

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \int_{π}^{2 π} e^{- s t} t d t - \int_{π}^{2 π} π e^{- s t} d t

\int_{π}^{2 π} e^{- s t} t d t = \frac{- 2 π s e ^{- 2 π s} - e ^{- 2 π s} + π s e ^{- π s} + e ^{- π s}}{s ^{2}}

\int_{π}^{2 π} π e^{- s t} d t = - \frac{π ( e ^{- 2 π s} - e ^{- π s} )}{s}

= \frac{- 2 π s e ^{- 2 π s} - e ^{- 2 π s} + π s e ^{- π s} + e ^{- π s}}{s ^{2}} - (- \frac{π ( e ^{- 2 π s} - e ^{- π s} )}{s})

簡素化

= \frac{- 2 π s e ^{- 2 π s} - e ^{- 2 π s} + π s e ^{- π s} + e ^{- π s}}{s ^{2}} + \frac{π ( e ^{- 2 π s} - e ^{- π s} )}{s}