integral of e^{nx}sin(nx)

解答

\int e^{n x} sin (n x) d x

- \frac{e ^{n x} cos ( n x )}{2 n} + \frac{e ^{n x} sin ( n x )}{2 n} + C

求解步骤

\int e^{n x} sin (n x) d x

使用分布积分法

= - e^{n x} \frac{1}{n} cos (n x) - \int - e^{n x} cos (n x) d x

提出常数:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= - e^{n x} \frac{1}{n} cos (n x) - (- \int e^{n x} cos (n x) d x)

使用分布积分法

= - e^{n x} \frac{1}{n} cos (n x) - (- (e^{n x} \frac{1}{n} sin (n x) - \int e^{n x} sin (n x) d x))

因此

\int e^{n x} sin (n x) d x = - e^{n x} \frac{1}{n} cos (n x) - (- (e^{n x} \frac{1}{n} sin (n x) - \int e^{n x} sin (n x) d x))

整理

\int e^{n x} sin (n x) d x

= - \frac{e ^{n x} cos ( n x )}{2 n} + \frac{e ^{n x} sin ( n x )}{2 n}

解答补常数

= - \frac{e ^{n x} cos ( n x )}{2 n} + \frac{e ^{n x} sin ( n x )}{2 n} + C

x \to 0 lim (x sin (\frac{6}{x}))

\frac{d}{d x} (\frac{x}{ln ( 2 x )})

\int 30 t^{5} e^{- t^{6}} d t

\frac{d}{d x} (\frac{x}{9 + x})

\int \frac{x ^{2} + 3 x + 1}{( x ^{2} + 1 ) ^{2}} d x