inverselaplace 1/(s(s^2+2s+3))

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{1}{s ( s ^{2} + 2 s + 3 )}

\frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{3 2} e^{- t} sin (2 t)

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{1}{s ( s ^{2} + 2 s + 3 )}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{1}{s ( s ^{2} + 2 s + 3 )} : \frac{1}{3 s} + \frac{- s - 2}{3 ( s ^{2} + 2 s + 3 )}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s} + \frac{- s - 2}{3 ( s ^{2} + 2 s + 3 )}}

Schreibe

\frac{- s - 2}{3 ( s ^{2} + 2 s + 3 )}

um:

- \frac{1}{3} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s} - \frac{1}{3} \cdot \frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2} - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{1}{3 s}} - \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}} - \frac{1}{3} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}}

L^{- 1} {\frac{1}{3 s}} : \frac{1}{3} H (t)

L^{- 1} {\frac{s + 1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}} : e^{- t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 1 ) ^{2} + 2}} : e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{3} e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

Fasse

\frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{3} e^{- t} \frac{1}{2} sin (2 t)

zusammen:

\frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{3 2} e^{- t} sin (2 t)

= \frac{1}{3} H (t) - \frac{1}{3} e^{- t} cos (2 t) - \frac{1}{3 2} e^{- t} sin (2 t)

\int \frac{2 x + 3}{x ^{2} + 9} d x

\frac{d}{d x} ((ln (x^{2} - 3))^{3})

im pl i c i t \frac{d y}{d x}, x^{2} + y^{2} = 4

d er i v a t i v e y = lo g_{3} (8 x - 1)

\frac{d ^{2}}{d x ^{2}} (1 + x^{2})