integral of (x^4)/(sqrt(4-x^2))

Lösung

\int \frac{x ^{4}}{4 - x ^{2}} d x

16 (- \frac{1}{64} x^{3} 4 - x^{2} + \frac{3}{8} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))) + C

Schritte zur Lösung

\int \frac{x ^{4}}{4 - x ^{2}} d x

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int 16 sin^{4} (u) d u

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= 16 \cdot \int sin^{4} (u) d u

Wende integrale Reduktion an

= 16 (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \int sin^{2} (u) d u)

\int sin^{2} (u) d u = \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u))

= 16 (- \frac{cos ( u ) sin ^{3} ( u )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (u - \frac{1}{2} sin (2 u)))

Setze in

u = arcsin (\frac{1}{2} x)

ein

= 16 (- \frac{cos ( arcsin ( \frac{1}{2} x ) ) sin ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{2} x ) )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))))

Vereinfache

16 (- \frac{cos ( arcsin ( \frac{1}{2} x ) ) sin ^{3} ( arcsin ( \frac{1}{2} x ) )}{4} + \frac{3}{4} \cdot \frac{1}{2} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))) : 16 (- \frac{1}{64} x^{3} 4 - x^{2} + \frac{3}{8} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))))

= 16 (- \frac{1}{64} x^{3} 4 - x^{2} + \frac{3}{8} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x))))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= 16 (- \frac{1}{64} x^{3} 4 - x^{2} + \frac{3}{8} (arcsin (\frac{1}{2} x) - \frac{1}{2} sin (2 arcsin (\frac{1}{2} x)))) + C

d er i v a t i v e \frac{1}{5} x^{5}

\int sin (x) sin (n x) d x

\frac{d}{d x} (lo g_{10} (x^{3}))

t an g e n t y = x^{3} - 15 x, (2, - 22)

t an g e n t 9 + 5 x^{2} - 2 x^{3}