inverselaplace 4/((s+1)(s^2+4s+8))

Lösung

inverse laplace transformation

\frac{4}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

\frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 2 t} sin ( 2 t )}{5}

Schritte zur Lösung

L^{- 1} {\frac{4}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

Ermittle den Partialbruch von

\frac{4}{( s + 1 ) ( s ^{2} + 4 s + 8 )} : \frac{4}{5 ( s + 1 )} + \frac{- 4 s - 12}{5 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

= L^{- 1} {\frac{4}{5 ( s + 1 )} + \frac{- 4 s - 12}{5 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}}

Schreibe

\frac{- 4 s - 12}{5 ( s ^{2} + 4 s + 8 )}

um:

- \frac{4}{5} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}

= L^{- 1} {\frac{4}{5 ( s + 1 )} - \frac{4}{5} \cdot \frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4} - \frac{4}{5} \cdot \frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

Wende die lineare Eigenschaftder inversen Laplace-Transformation an:

Für Funktionen

f (s), g (s)

und Konstanten

a, b : L^{- 1} {a \cdot f (s) + b \cdot g (s)} = a \cdot L^{- 1} {f (s)} + b \cdot L^{- 1} {g (s)}

= L^{- 1} {\frac{4}{5 ( s + 1 )}} - \frac{4}{5} L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} - \frac{4}{5} L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}}

L^{- 1} {\frac{4}{5 ( s + 1 )}} : \frac{4}{5} e^{- t}

L^{- 1} {\frac{s + 2}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} cos (2 t)

L^{- 1} {\frac{1}{( s + 2 ) ^{2} + 4}} : e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

= \frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{4}{5} e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

Fasse

\frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{4}{5} e^{- 2 t} \frac{1}{2} sin (2 t)

zusammen:

\frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 2 t} sin ( 2 t )}{5}

= \frac{4}{5} e^{- t} - \frac{4}{5} e^{- 2 t} cos (2 t) - \frac{2 e ^{- 2 t} sin ( 2 t )}{5}

x \to - 2 lim (\frac{x - 3}{x + 5})

\frac{\partial}{\partial y} (- x sin (y))

y^{^{'}} = (t + y)^{2} - 1, y (1) = 6

\frac{d}{d x} (4 x + 2 x^{2} sin (\frac{1}{x}))

\int sin (x - n x) d x