integral of sin(nx)sin(mx)

解

\int sin (n x) sin (m x) d x

\frac{1}{2} (- \frac{1}{n + m} sin (n x + m x) + \frac{1}{n - m} sin (n x - m x)) + C

解答ステップ

\int sin (n x) sin (m x) d x

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int \frac{- cos ( n x + m x ) + cos ( n x - m x )}{2} d x

定数を除く:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int - cos (n x + m x) + cos (n x - m x) d x

総和規則を適用する:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (- \int cos (n x + m x) d x + \int cos (n x - m x) d x)

\int cos (n x + m x) d x = \frac{1}{n + m} sin (n x + m x)

\int cos (n x - m x) d x = \frac{1}{n - m} sin (n x - m x)

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{n + m} sin (n x + m x) + \frac{1}{n - m} sin (n x - m x))

定数を解答に追加する

= \frac{1}{2} (- \frac{1}{n + m} sin (n x + m x) + \frac{1}{n - m} sin (n x - m x)) + C