integral of (1+cot^2(θ))(csc^2(θ))

解

\int (1 + cot^{2} (θ)) (csc^{2} (θ)) d θ

- \frac{1}{3} csc^{3} (θ) cos (θ) - \frac{2}{3} cot (θ) + C

解答ステップ

\int (1 + cot^{2} (θ)) csc^{2} (θ) d θ

三角関数の公式を使用して書き換える

= \int csc^{4} (θ) d θ

積分換算を適用する

= - \frac{cos ( θ ) csc ^{3} ( θ )}{3} + \frac{2}{3} \cdot \int csc^{2} (θ) d θ

\int csc^{2} (θ) d θ = - cot (θ)

= - \frac{cos ( θ ) csc ^{3} ( θ )}{3} + \frac{2}{3} (- cot (θ))

簡素化

- \frac{cos ( θ ) csc ^{3} ( θ )}{3} + \frac{2}{3} (- cot (θ)) : - \frac{1}{3} csc^{3} (θ) cos (θ) - \frac{2}{3} cot (θ)

= - \frac{1}{3} csc^{3} (θ) cos (θ) - \frac{2}{3} cot (θ)

定数を解答に追加する

= - \frac{1}{3} csc^{3} (θ) cos (θ) - \frac{2}{3} cot (θ) + C