integral of sqrt(2x-x^2)

Lösung

\int 2 x - x^{2} d x

\frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1))) + C

Schritte zur Lösung

\int 2 x - x^{2} d x

Vervollständige das Quadrat

2 x - x^{2} : - (x - 1)^{2} + 1

= \int - (x - 1)^{2} + 1 d x

Wende U-Substitution an

= \int - u^{2} + 1 d u

Trigonometrische Substitution anwenden

= \int cos^{2} (v) d v

Umschreiben mit Hilfe von Trigonometrie-Identitäten

= \int \frac{1 + cos ( 2 v )}{2} d v

Entferne die Konstante:

\int a \cdot f (x) d x = a \cdot \int f (x) d x

= \frac{1}{2} \cdot \int 1 + cos (2 v) d v

Wende die Summenregel an:

\int f (x) \pm g (x) d x = \int f (x) d x \pm \int g (x) d x

= \frac{1}{2} (\int 1 d v + \int cos (2 v) d v)

\int 1 d v = v

\int cos (2 v) d v = \frac{1}{2} sin (2 v)

= \frac{1}{2} (v + \frac{1}{2} sin (2 v))

Ersetze zurück

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1)))

Füge eine Konstante zur Lösung hinzu

= \frac{1}{2} (arcsin (x - 1) + \frac{1}{2} sin (2 arcsin (x - 1))) + C

t an g e n t y = 50 - x^{2}

f (x) = 3 cos (x)

x \to - 5 + lim (\frac{1}{x ^{2} - 25})

(t^{2} + 2 t) \frac{d x}{d t} = 2 x + 6, x (1) = 1

y^{^{''}} + 7 y = 0